28 赵 秀
刍议凸函数及应用
贵州兴义民族师范学院数学科学学院 赵 秀
摘 要：凸函数是具有良好性质及广泛应用的一类重要函数，在许多学科分支（如泛函分析、最优化原理、控制论、数理经济学等等）中有重要的作用，关于凸函数与凸集的研究已经形成一门专门的数学分支——凸分析.目前有关凸函数的理论十分丰富，而大学的数学分析或高等数学教材往往只有粗浅的介绍，而且定义不尽相同.到目前为止，凸函数的研究已经从定义的研究到凸性的研究，再到凸性应用方面的研究, 对函数凹凸性的研究，在数学分析的多个分支都有用处.特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面，凸函数起着十分重要的作用.本文主要探讨凸函数的定义、性质及应用,为进一步理解、掌握凸函数起促进作用.
关键词： 凸函数 定义 性质 应用
一、 凸函数的产生与发展
凸函数是一类重要的函数，它起源于丹麦数学家约翰.詹森(Jensen)和爱因斯坦在瑞士的数学老师闵科夫斯基，在詹森（Jensen）著述中是这样介绍的：若函数满足定义域上任意两个数，都有，则称为凸函数.凸函数的产生不仅给人们带来了一种新的研究函数的工具,也为函数这个“大家族”增枝散叶，随着凸函数的出现，人们对函数这个概念又多了一丝陌生感，也引起人们“认识”的欲望.在詹森（Jensen）定义凸函数后，有不少人对凸函数进行了研究，其中有闵科夫斯基和杜克等人.在凸函数产生的最初阶段，人们对凸函数并不看好，真正引起人们广泛重视的是40至50年代冯·诺伊曼和杜克等人对策论和数学规划的研究，由于这方面的需要，从50年代初到六十年代末人们对凸函数的研究得到较大的发展.关于凸函数的研究大多数都是围绕凸分析所展开的.当时，我国的数学爱好者对凸函数的研究也有涉及，那时的代表人物有张晓明、刘光中和胡克等人，他们的研究成果多数是以教材的形式所展示，而且对凸函数的定义有所区别.例如，同济大学高等代数教材对凸函数所下定义与国际相反.随着科学家求知欲望的增长与艰辛的付出，对凸函数的研究逐步得到深入与完善.
二、函数的定义及几何意义
目前对凸函数的理论研究十分丰富，对凸函数所给的定义不尽相同，本文参阅凸函数的国际定义对凸函数作如下定义：
（一）凸函数的定义 设函数在区间I上有定义，若对任意的及对任意的，总有：，则称函数为区间上的凸函数(convex function).
(二)凸函数的几何意义
设为区间上的凸函数且图像如图2—1所示，若当，，其中，则弦AB的方程为：.
若任意参数,则有，故弦AB的方程可改写为：由于函数为凸函数，则：.即连接凸函数图像上的任意两点的弦总位于对应图像的上方(如图2--2).
三、函数的等价定义
凸函数定义的种类较多，不同的教材有所不同，以国际定义等价的定义如下：
为区间上的凸函数的充要条件是：对任意的，（，（其中，，，（图略），下列不等式之一成立：
（一）;（
（二）; (
（三）（
（四）
注1：若将定义中的不等号“”改为严格不等号“<”，则称为区间上的严凸函数；
注2：若-为区间上的凸函数（严凸函数），则为区间上的凹函数（严凹函数）.
四、函数定义的应用
不等式是数学学科中一个重要的组成部分，不等式最关键的就是对它的证明，而有些不等式用常规不等式的证明方法就显得十分麻烦和困难，如借助凸函数的定义去证明就十分便捷，如下几例.
例1
证明：
由凸函数的定义可得，
故有
例2 若，求证.（均值不等式）
证明：设，则在为凸函数.
因为，则由凸函数的定义可得，
，
由上式化简整理可得，
.
五、凸函数的性质
无论是国外，还是国内的数学爱好者都对凸函数进行了大量的研究，也发现凸函数的许多性质，本文只介绍凸函数的如下四条性质：
性质1 (有界性) 若为上的凸函数，则在上有界.
性质2 (连续性) 若为区间上的凸函数，则在任意点处连续.
性质3 (可导性) 设在区间上二阶可导.若为区间上的凸函数，则(反之也成立).
性质4(单调性) 设在区间上可导.若为区间上的凸函数，则
六、凸函数性质的应用
例3 已知，试求的最值.
解：设，则.
因为在内为凸函数，所以由凸函数的可导性的反面可得：
，
即
所以 的最小值为.
例4 证明：若在区间递增凸函数，则对任，为凸函数.
证明：因为在上递增，所以积分有意义,又因为为上的凸函数，所以在上连续.
对任意，且，有
，，—（1）
，， —（2）
从而有，由凸函数的等价定义（三）知，
为内的凸函数.
注：（1）与（2）式的成立用到了积分中值定理.
证明：若为闭区间上的凸函数，则
. ——（1）
证明：因为为闭区间上的凸函数，由凸函数的性质知，在闭区间上有界，在内连续，从而为闭区间上可积.（因为闭区间上有有限个间断点的有界函数可积）
因为，——（2）
当时，，且有
，
.
令，则
=，
代入（2）式得，
，
故 .
为了证明（1）式右边的不等式，令，则，，
于是，
则
.
即
故
随着科技的发展，人们对凸函数的认识越来越系统，研究越来越全面，应用越来越广泛.，因此，深入掌握凸函数的定义、性质及应用是十分重要的.由于本人知识有限，文中有不足之处，望各位同行不吝赐教!
