34 党 娜
初等几何变换及其应用
陕西省澄城县北关中学 党 娜
摘 要：几何变换是研究几何较近代的一种方法,是一种解决平面几何问题的有效途径。本文通过对初等几何变换的主要变换——全等变换、相似变换的分类介绍，并应用到平面几何中的具体题型中，阐述了它在中学几何课程中的地位和作用。
关键词：几何变换；平移；旋转；轴反射；不变性质。
平面几何是研究现实世界空间形式最基本的内容，是培养学生逻辑推理能力的重要素材。由于几何图形及其性质都是以现实世界的物体在运动与变化的过程中抽象出来的。要掌握运动着的事物的空间形式中最本质的东西，就必须研究这些物体的运动形式和规律，于是就产生“变换”的概念。初等几何中现代数学思想，在教学中渗透最深、应用最多的，首推“几何变换”，它是一种重要的现代几何思想和方法，是一种用来解决平面几何问题的有效方法。学生在学习这一内容时总感到这一方面应用起来比较困难。主要原因是：
1、对哪些点该施行什么样的变换，把握不准。
2、学生觉得目前我国初中教材中没有单独介绍这一方法，认为许多问题不用此法照样解决，就不会自觉地应用它。这些都是由于学生对于变换思想的深刻性，变换方法在中学几何课程中的地位和作用认识不足而造成的。
为此我们有必要对这一方法的本源，及其在中学几何教学中所起的作用进行一些探讨。1872 年德国数学家 F 克莱因在埃尔朗根大学的教授就职演讲时，提出题为《关于近代几何研究的比较》的论文，论述了变换群在几何中的主导作用，把到当时为止已发现的所有几何统一在变换群论观点之下，明确地给出了几何的一种新定义，把几何学的研究内容定义在一个变换群之下几何图形的不变性质。这种观点是新的，划时代的，它突出了变换群在研究几何中的地位，克莱因的这一演讲被后人誉为“埃尔朗根纲领”。把几何定义为一个变换群之下的不变性质，即几何学是当几何 S 的元素经受某变换Г中所包含的变换时，集合 S 保持不变的那些性质的研究。拿平面几何说，设 S 为通常平面所有点的集合，考虑由平移、旋转和轴反射组成的所有 S 变换的集合Г，因为任何两个这样的变换的乘积和任何这样的变换的逆变换还是这样的变换，所以，Г是一个变换群，得到的几何是通常的平面欧几里得度量几何。因为象长度、面积、全等、平行、垂直、图形的相似性，点线接合性这样一些性质在群Г下是不变的，而这些性质正是在平面欧几里得度量几何中研究的。现在如果把Г扩大，除了平移，旋转和轴反射外，还包括位似变换（即每一点 P 对应于一点P′，使得 A P′=K·AP，在这里，A 是某固定点，K 是某固定常数，并且 A、P 、P′共线），则得到平面相似几何。在此扩大的群下，象长度，面积和全等这类性质不再保持不变，因而长度、面积等不再是相似几何研究的内容。但平行，垂直，因形的相似性，点线接合性仍然是不变的性质，因而仍然是这种几何中要研究的内容。从此我们可以看到两种几何之间的隐包含式。因平面欧几里得度量几何的变换群是平面相似几何的变换群的子群，故在平面相似几何中成立的任何定理在平面欧几里得度量几何中必定成立，可以在平面几何中所用的变换方法有平移，旋转和轴反射（对称）反相似变换（位似变换与运动或轴反射之积），统称的初等几何变换。尽管以后又有了等积变换，仿射变换，射影变换，拓扑变换和反演变换等方法，但欧式几何中所涉及的就是初等几何变换。
由上所述，初等几何变换是代数与几何相结合的产物。就是用集合论的观点来处理平面几何，把一切几何图形看作点集，研究点集之间的映射，即图形之间的变换，以及在这种变换下图形的不变性质，这种观点是研究几何的比较近代的观点，变换方法是研究几何的比较近代的方法。
初等几何变换的方法 及 其 应用初等几何变换所涉及的主要变换，通常包括全等变换和相似变换两大类。全等变换 保向的全等变换—平移，（保距变换） 旋转—中心对称，变向的全等变换—反射，初等几何变换，相似变换 同向相似—同向位似，（保形变换） 反向相似—反向位似。
中学的解题活动，实质上都是保持一定不变关系下的变，是发挥主观能动性，进行创造性活动的广阔天地。在不变中有变，有变中又有不变性，是常需要在变换中寻找不变量，从无常中把握有常，于绝对运动中捕捉相对静止，这是探索事物运动规律的一种基本策略。几何变换的思想方法拓宽了我们的思路，对从事初中几何教学起着指导性作用。随着对中学几何课程改革的不断深入，几何变换思想方法的地位越显重要。在我国原初中几何教材中几何变换的思想有一定程度的体现，如全等形的概念是能够完全重合的两个图形叫全等形，两个图形的重合过程就是变换过程。还有轴对称和轴对称图形等方面也反映出这一方法的应用。而新的初中几何教材中，作为选读内容，较具体地介绍了几何变换方法，使学生认识到图形之间的关系，掌握一些实际性的东西，并使学生在具备一定几何知识的基础上，能积极主动的运用运动的观点分析解决问题。作为教师，应积极采用运动观点来研究图形性质，应用变换思想探索问题途径，启发学生思维，寻找证题方法，把整体思维推向更高意境。
参考文献:
[1] 朱德详,朱维宗.初等几何研究[M](第二版)，高等教育出版社
[2] 朱德详.高等几何[M]，高等教育出版社
[3] 张禾瑞.近世代数基础[M](修订本)，高等教育出版社
[4] 高秀华.运用几何变换解题［J］.中学生数理化.初中版，2006 5
还学生一个创新的朗朗天空
渭南市澄城县北关中学 雷美丽
新课标的核心理念“为了每一位学生的发展”。具体指向能力和个性核心的发展，要培养学生的信息收集和整理能力，发现问题和思考问题的能力，分析问题和解决问题的能力，终身学习和创新的能力。为了实现这一目标，奋斗在一线的同仁们想尽千方百计，乐此不疲的探索改革教法。但是，改来改去，课堂上，学生始终在教师的指挥、掌控之中求知、思考，永远逃脱不了教师预先设计的圈，学生的个性及能力仍受到牵制。因此，在课改深化的今天 ，为能真真正正的落实好学生的思维创新及潜在能力的发展，笔者大胆尝试，反复实践，经过仔细揣摩，初步探索出一条行之有效的教学模式，即：先读-后究-拓展训练。这一模式，突出学生在课堂中的主体地位，留给他们创造思维的余地及大胆质疑的机会，让他们大胆展示自我，进而激活学生的思维，激发他们主动参与教学的积极性，培养他们的自信心和创新意识。
一、先读。即学生在教师讲解新课之前对文本独立的欣赏、解读。这个过程是学生探究一片文章的序幕，决定着他们探索的顺畅程度。所以，教师要求学生：在熟读文章、了解大意的基础上，能根据自己的独立思考，自觉感悟，自由联想等，然后提出自己不明白的问题。关键是怎么做，学生才能完成此任务，达到预期之目的的呢？多年的一线教学实践，无不证明了只有还学生充足的阅读时间方可事半功倍 。
以前的语文课堂，二三十分钟由教师控制，学生当听众。学生读文章的时间仅4---5分钟，并且现代初中语文课文，多为名家名篇，篇幅很长（少则6、7页，多达10页以上），文质兼美，学生阅读水平参差不齐，要实现让每个学生细致了解文章，独立品味，这点时间是远远不够的。常言道：“书读百遍，其义自见。”只有保证了学生充足的阅读时间，才能读熟文章，才会有所体会和发现，否则就会出现课堂冷场，教师唱独角戏的尴尬场面。这犹如人看电视剧，看电视剧不分男女老少，只要熟悉了谁也会评，谁也有话可说。
在阅读的时候，为了防止个别学生应付完成任务，阅读不投入的问题，我专门利用早读对学生进行指导。先要求学生自由朗读，朗读的形式采取个人爱好，可默读、小声读、大声读、摇头晃脑读，甚至可以站起来读，总之形式不拘一格，效果要求最佳！然后要求学生自我检测是否读懂文章。比如：记叙文，你要能独立说出六要素；议论文，要求分析出三要素；说明文，要能明白说明的对象、特征、顺序及突出的说明方法等等。经过检测，能完成此任务的学生可利用早读剩余时间背诵积累自认为精彩的语段，否则继续读文章，直至达到目的。这种做法保证了学生在课堂探究时对文章至少读四遍，最终使学生收取到信息，有所思考，有所发现，为学生上课的自主、合作、交流迈出了关键性的一步。例如：初三上册《敬业与乐业》一文,老师年年讲，觉得每届学生都不行，学生上课哑口无声，甚至恹恹欲睡；老师讲的口干舌燥、乏味至极，这是为什么呢？俗话说：“一头热。”教师对教材了如指，而二学生不熟悉，双方无法交流。因此，我就采取了早读指导朗读的方法，待学生达到朗读目标之后，我组织学生全班交流：“你知道了什么？你还明白了什么？”激发学生提出，爱因斯坦说过：“提出一个问题比回答一个问题更有价值 。”
令人惊喜的是，学生情绪高涨，争先恐后地举起了智慧的小手，畅所欲言。印象较深的，如：调皮学生王晨欢：“这是一片议论文，教育我们第一要敬业，第二要乐业；我不明白文章的结构？”语音刚落，女生魏婉莹就笑嘻嘻地说：“文章第一段提出了'敬业和乐业'是人生的不二法门这一中心论点；我不明白敬业一部分中'总统与修桌子'一例想说明什么？”……几乎全班同学都提出了问题，也回答了一些问题，其中留下了一部分较有价值的问题：如第三段到底属名言论据还是事实论据；文章的题目有何特点；“人们一面为生活而劳作，一面也是为劳作而生活”如何理解；本文语言有什么特点等等；当然，这里也有些研究价值不大的问题，譬如：文中为什么要举“当木匠的做成一张桌子和你们当政治家的建设一个共和国”的例子，而不举其他人的例子呢？“亵渎”一词是什么意思？等等。
总之，学生的积极性被调动起来了，学生读了之后，思维被打开了，有说不完的收获，敢于发现问题，敢于提出问题，这真是前所未有的改变。
二、后究。不是教师主讲，而是学生相互合作，探“先读”部分提出疑难。学生合作，仍然探究不出来的，教师要做适当点拨。
具体操作：先要求学生将自己在预习过程中的疑难问题提出来，再让课代表课前归纳梳理成条，板书在黑板上。如《敬业与乐业》，梳理问题如下：1、题目的特点。2、各部分的论证方法？3、第三段属名言论据还是事实论据……教师一进课堂就让学生四人一小组对板书的问题进行讨论，看哪一组讨论的快又准。在一片讨论声中，甚至是一场面红耳赤的辩论中，答案陆陆续续产生。最后黑板上剩下几个“顽敌”—文章结构；第三段是否是名言论据；第七段都有哪些论证方法等。这时，同学们都屏息凝视，将期待的目光投向我，我这才闪亮登场，进行点拨。此时，可以说教师调动学生求知欲望、积极性发挥到极致，同学们注意力高度集中，很快就通过过渡句明白了本文是总-分-总的结构；名言不一定是道理论据，在于它是直接论证论点，还是为叙事服务来决定的等教学任务。这样的课堂充分调动了全体学生的积极性，体现了学生课堂的主体地位、教师的精讲特点。而且无论是学生的讨论还是教师的点拨，都在学生的头脑中留下了非常深刻的印象。既大大的提高了课堂效益，又践行了新课标中“自主、合作、探究”的理念，同时激发了学生的创造思维。
特别要注意的一贯不可或缺教学环节是：在学生讨论出全部疑难后，教师还需专门留时间，还学生探究的权利。让学生全面衡量，大胆的提出自己还不明白的问题，使学生学就学个痛快，探究就探究个彻底。如《范 进中举》一文，学生问：“为什么主人公叫'范进'，题目有什么内涵吗？”经过思考，有学生认为“封建社会，孩子的名字往往寄予着家长的殷切希望”；“范进父母让儿子读书为了考取功名”；“范进的'范'是封建社会所有读书人的一个典范，'进'是所有读书人的理想。作者以'范进'为名有意讽刺和揭露封建科举制度对所有读书人在精神上的毒害之深列举”……真是“一石激起千层浪”，这些问题一下子又将课堂推向了高潮，学生的思维被引向了更深方向，师生互动使意想不到的课堂新知产生了！刚刚恢复平静的课堂又泛起了智慧的浪花，妙味横生，耐人寻味，引人入胜，是学生的个性也演绎的淋漓尽致。
三、拓展训练。这是课堂内容的一个延伸，一方面强化了本节课堂基础知识的落实，另一方面也是对学生能力的一个再提升。通过学生的练习，既实现了开拓学生知识的视野，又锻炼了学生听、说、读、写的能力，也实现了新课标要求的三维目标中的“情感态度，价值观”，将节节课堂推向了高潮。 有关XX的诗句、小作文、补充论据，学生兴趣盎然，语文课堂焕发出了青春活力。
节节课的妙语连珠，奇思妙想；节节课的异彩纷呈、引人注目，这都是改革课堂结构、践行“先读__后究__拓展训练”模式的成效，更是同学们点燃创新的火花而收获的智慧的结晶。这根本不是教师讲解的功劳。因此我呼吁：老师们，改变观念，迅速转变师生角色，放手学生，相信他们的能力，赶快支撑起一个创新的朗朗天空，还给我们的学生，切莫因为自己的“淳淳教诲”“辛勤耕耘”而收获一片荒凉！
