38 李尚林
初中数学开放型试题的八种解题方法
陕西省岐山县西机学校 李尚林
开放型试题对学生的思维能力要求较高，因此中考中学生得分率不高。我结合中考题的特点，总结出解答这类试题的八种思维方法，并加以分析说明：
一、用类比的方法探求结论
例1 如果不等式3χ-M≤0的正整数解是1、2、3，那么M的取值范围是（ ）。
A.9≤M＜12 B.9＜M＜12
C.M＜12 D.M≥9
分析：本考题根据执果索因的命题原则，把初中数学第一册某例：“求不等式3χ-9≤0的正整数解”改编而成。解时可采用类比的方法，首先把不等式3χ-M≤0化为χ≤探索：
χ＜3的正整数解为1、2；
χ≤3的正整数解为1、2、3；
……
χ＜4的正整数解为1、2、3；
χ≤4的正整数解为1、2、3、4；
这样可知3≤＜4，即9≤M＜12
二、用归纳法总结探求结论
例2 根据有理数一章的所有法则和概念，回答：
？= 0 ， ， ， ， ， 。
分析：命题编写，旨在考查学生的汇聚思维能力，让考生殊途同归，起到归纳总结之作用。事实上，教材上明确写道：0的相反数是0，0的绝对值是0。互为相反数的两个数相加得0。 任何数同0相乘都得零，几个数相乘，有一个因数为0，积就为0，0除以任何一个非0数都得零。用数学式表达为-0＝0，|0|＝0，a+(-a) ＝0,a∙0＝0,a∙b∙0＝0 ,0÷a(a≠0) ＝0。
三、用作图法探求结论
例3 在直角坐标系中，已知点A(-3，0),B(0，-4),
C(0，1),过点C作直线L交χ轴于点D，使得以点D、C、0为顶点的三角形与△A0B相似，这样的直线一共可作
条。
分析：命题者将△A0B的顶点坐标以及点C的坐标置于直角坐标系之中。体现出作图的多样性。解答时，首先在第一象限内确定与△A0B相似的点D的位置。
依据△C0D∽△A0B,即 , 0D＝。
在0χ轴上截取一点D1，使0D1 = 。过C、D1作出直线L1，若依据△D0C∽△A0B，即：= 得 0D=
在0χ轴上取点D2，使0D2=，过CD2作出直线L2，则L2∥AB。其次，作D1、D2关于y轴的对称点D3、D4，过CD3和CD4点还可作出另外两条直线L3、L4。
四、用分类讨论的方法探求结论
例4 已知凸四边形ABCD中，BC＝DC，对角线AC平分∠BAD，在四边形ABCD中，设AB＝a、AD＝b。问a与b的大小符合什么条件，这个四边形一定有外接圆？
分析：初中阶段判断四点共圆的方法主要利用角关系，如何将线段度量关系转化为角关系便是本题的关键。利用分类思想：a≠b(a﹥b、a﹤b)时，一定有∠B+∠ADC＝1800，所以一定有外接圆；而当a＝b时，若∠B=∠ADC＝900时有外接圆。但是，∠B=∠ADC≠900时无外接圆。
五、用数形结合思想探求结论
例5 已知圆0内切于四边形ABCD、AB＝AD，连接AC、BD，由这些条件你能推出哪些结论？
分析：这道题突破常规模式，不限结论，而是让学生根据条件去探索结论，需分析条件，发现结论，由题意画出图，由对称性和条件可得：
①∠ABD＝∠ADB ② AC平分∠BAD
③ AC垂直平分BD ④∠BAC+∠DBA＝900
⑤ BC＝CD ⑥△ABC≌△ADC
⑦ S四边形ABCD＝ AC·BD ⑧AC过圆心0等结论
六、构建模型探求“配对问题”的结论
例6 G是△ABC的重心，由图你能推出面积相等的三角形有多少对？
分析：解答本题的理论依据是：若一直线上有n个点，则由这些点确定的线段共有条，分如下三方面作答：
①面积为S△ABC的三角形有六个：△ABD、△ACD、
△BFC、△BEA、△BEC、△AFC，这样配成的对数为=15。
②面积为S△ABC的三角形有三个：△ABG、△BCG、
△CAG，配成的对数为=3。
③面积为S△ABC的三角形有六个：△AEG、△BFG、
△BDG、△CDG、△CEG、△AFG，15对。
综上所述，满足条件的三角形有33对。
七、从假设出发探求结论
例7 如图：在直角坐标系中，点O′的坐标为（2，0），圆O′与χ轴交于原点O和点A，又B、C、E三点坐标分别为（-1，0）、（0，3）、（0，b），且O＜b＜3。当点E在线段OC上移动时，直线BE与圆O′有几种位置关系？并求出每种位置关系时b 的取值范围。
分析：寻求的是直线与圆O′的位置关系，以假设特殊位置关系（相切）存在为突破口来验证其真实存在与否，然后探索结果，于是仅设BF与圆O′相切（F为切点）交y轴于E′(0，b)。
∵ OB＝1，OF＝2
∴ BF＝
又∵ △OBE′∽△FBO′
∴ OE′＝
即 b＝（符合条件）
∴ BF与y轴交于OC之间
∴ 当O＜b＜时，BE与圆O′相交；
当b＝时，BE与圆O′相切；
当＜b＜3时，BE与圆O′相离。
八、用综合分析的方法探求结论
例8 已知抛物线y＝χ2-2χ-3交χ轴于B（-1,0），交y轴于C（0,-3），点A（2,-3）在此抛物线上。
（1）当点D在y轴上，且∠BDO＝
∠BAC时，求点D的坐标；
（2）点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，是否存在，以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M，若不存在，说明理由。
解：
（1）分析：
综合分析条件得出∠BAC=∠ABX＝450
所以，只要∠BDO＝450
即可，即OB＝OD＝1
∴ D点只能（0.1）或（0，-1）
（2）综合分析，并分类讨论
当AB为平行四边形对角线时，易得□ACBN1，M1就是C，这时M1（0，-3）。
当AB为平行四边形一边时，方法是将AB向上（斜上）或向下（斜下）平移，得到满足条件的点M和点N。
如图：□ABM2N2，N2的横坐标是1，由平移关系知M2的横坐标是-2。
∴ M2的纵坐标是y＝（-2）2-2χ（-2）-3＝5
∴ 点M2（-2，5）。将线段AB向右上平移可得满足条件的□ABN3M3如上图，N3横坐标是1，由平移关系可知M3的横坐标是4。所以M3的纵坐标是y＝42-2×4-3＝5
∴ M3（4，5）。综上所述点M存在且坐标是（0，-3）或（-2，5）或（4，5）。
