103 赵爱英
最值问题加权线段和 AP+nPB型之一胡不归问题
陕西省西安市临潼区秦陵中学 赵爱英
【摘要】当n=1时，AP+nPB型属于将军饮马模型。当n≠1的正数时，AP+nPB型的加权线段和最值的一种形式是阿氏圆，其主要特征是动点是在圆上运动，而在胡不归问题中，动点是在直线上运动，今天重点谈谈胡不归问题。什么是胡不归？帮大家再回顾一下这个古老的故事。
【关键词】胡不归 最值问题
【故事背景】
从前，有一个姓胡的小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。 这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
沙砾地带 B
A D C
【知识储备】
线段最值问题常用原理：（1）三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。（2）两点之间线段最短。（3）连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。（4）隐形圆问题。
【问题展示】今天以点带面举例：
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-）、C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D。
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则的最小值为。
（备用图）
考点：二次函数的综合应用。
分析：二次函数的表达式有三种方法，这题很明显可以用顶点式以及交点式更方便些；第二问求的最小值，这属于胡不归模型，根据边的关系得出∠ABO=30°非常重要，在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半把所要求的边转化，再根据点到直线垂线段最短求得最小值；
解：（1）方法一：设二次函数的表达式为，B（0，-）代入解得
∴
∴顶点坐标为
方法二：也可以用三点式设代入三点或者顶点式设代入两点求得。
（2）如图，过P点作DE⊥AB于E点，由题意已知∠ABO=30°。
∴
∴
要使最小，只需要D、P、E共线，所以过D点作DE⊥AB于E点，与y轴的交点即为P点。
由题意易知，∠ADE=∠ABO=30°，
解决胡不归模型步骤：
1、系数处理。一般的加权线段和的形式是AP+nPB的形式，为解决问题，我们将方向不确定的线段系数变为1。
2、构造直线。在定方向线段PB的定端点B处构造直线L，使L与MN的夹角为a，且满足sina=n,过P向L作垂线于Q，则PQ=nPB.现在我们明白了第一步中将方向不定线段的系数变为1的原因，只有这样，我们才能构造出确定的直线L，为接下来最小值的计算提供基础。
3、构造最短路线，计算。过A向直线L作垂线，分别交MN、L于P、Q两点，于是AP+nPB=AP+PQ≥AQ,当取等于时，值最小。
A
L
M B a P P min C N
Q
Qmin
sina=n
