38 周如晓
初中数学“分类讨论思想”教学初探
湖南省溆浦县江口镇中学 周如晓
摘 要： 数学课程标准强调，学生通过数学学习，能应用数学的思想方法分析问题和解决问题，这对培养学生的抽象能力、推理能力、创造能力具有特殊作用。笔者结合日常的教学，谈了教师除了基础知识和基本技能的教学外，还应重视数学思想方法的渗透，使数学思想方法逐步转化为学生个体的思维品质。
关键词： 初中数学 分类讨论 思想 思维
分类讨论思想是初中阶段解决数学问题时经常用到的一种重要数学思想，它是教学的难点，也是近年来中考的热点内容之一。数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。
数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。通俗的说就是把原问题分解成相对独立的小问题来处理，再综合对这些小问题的解答，便可推出原问题的结论。在分类讨论时要根据引发讨论的原因，确定讨论的对象及分类的方法。在初中阶段分类讨论一般有如下几种情况：
一、根据某些数学概念的定义进行分类
在初中阶段的教学内容中，一些数学概念的定义，如有理数的建立，绝对值的化简，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，两圆的五种位置关系等等……，都渗透着分类讨论的数学思想，对涉及到分类讨论思想的概念，教师在讲授这些概念时要准确、科学，要让学生对分类讨论思想的概念有正确的认知、理解和牢固的掌握。
例1：已知a是有理数，那么 |a| 与a的关系是（ ）
（A）|a| > a （B）|a| < a （C）|a| = a （D）|a| ≥ a
分析：绝对值概念是一种需要进行简单的分类讨论的概念。
（1）当a为正有理数或零时，|a| = a；
（2）当a为负有理数，即a< 0时， |a|= -a > 0，|a| = -a> a。
得正确答案： D。
但我们会发现，总有一部分学生会选C，究其原因，是没弄清绝对值这一概念，认为求一个数的绝对值，如：|5|=5；|-7.5|=7.5；……，只要去掉绝对值里面的负号。实际上，要讲清绝对值这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离，这样学生自然而然就会得出绝对值的三种分类讨论情况。
为了使学生能牢固掌握初中数学中有关涉及到分类讨论思想的概念，有时可以采用让学生操作、分组讨论、师生一起加以归纳总结，同时增加变式训练的教学方法。
例如，在学习两圆的五种位置关系的概念时，教师可让学生准备大小不等的两个圆，让学生自己动手操作，从两圆(半径不等时) 五种位置关系：内含、内切、相交、外切、外离，归纳出两圆的半径r1、r2与两圆的圆心距d之间的关系。这样既培养了学生的探索精神，又有助于学生能形象、直观、生动和牢固的掌握这一知识点，在碰到问题时也就能迎刃而解。
例2：如果⊙O1、⊙O2的半径分别为4、5，那么下列叙述中，错误的是( )
(A) 当O1O2=1时，⊙O1与⊙O2内切；
(B) 当O1O2=5时，⊙O1与⊙O2有两个公共点；
(C) 当O1O2>6时，⊙O1与⊙O2必有公共点；
(D) 当O1O2>1时，⊙O1与⊙O2至少有两条公切线。
学生通过亲自操作，就能迅速、准确的判断出四个选项中两圆的位置关系：(A) 内切；(B) 相交；(C) 相交、外切或外离；(D) 相交、外切或外离。 得正确答案： C。
二、根据问题中参变量不同取值会导致不同结果而进行分类
对于具体问题，如函数、方程、不等式中的解、求代数式的值等，它们随着题中所给字母的不同取值而变化，这时要对字母的取值进行讨论。
例3：当m= 时，函数y=（m+5）x 2m-1+7x-3（x≠0）是一个一次函数。
分析：（m+5）x 2m-1可能是一次项或常数项，也可能m+5=0，因此，分三种情况讨论：
（1）2m-1=1；m=1
（2）2m-1=0；m=
（3）m+5=0； m=-5
在中学数学课程标准中，对整式方程的教学要求是：通过对含有一个字母系数、次数不超过二次的一元整式方程求解，体会分类讨论的思想方法，会解这类方程。
例4：求使关于x的方程kx2 +（k+1）x +（k-1）= 0的根都是整数的所有k的值。
分析：题中的系数k决定方程的次数，因此要分k=0和k≠0两种情况讨论。当k=0时，所给方程为一次方程x-1=0，有整数根x=1；当k≠0时，所给的方程为二次方程，设两个整数根为x1和x2，则有
x1+ x2＝ ①
x1 x2 ＝ ②
①-②得 x1＋x2 -x1 x2 = -2
有（x1+1）（x2+1）= 3=1×3
x1-1=1 x1-1= -1 x1-1=3 x1-1= -3
x2-1=3 x2-1= -3 x2-1=1 x2-1= -1
∴x1+ x2 =6或x1+ x2 = -2，即-1- =6或-1- = -2，解得k=-或k=1。
又△= (k+1)2-4k (k-1)= -3 k2+6k+1，当k=-1或k=1时，都有△>0。
综上所述，满足条件的k的值为k=0或k=-1或k=1。
只有抓住了分类讨论的动因，把握住了分类的标准，才能做到分类时条理清楚、标准一致，在解答问题时就不会重复或遗漏，保证解题的准确率。
三、根据某些定理或公式的限制条件进行分类
例５：已知：等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角为 。
分析：这个等腰三角形的高的位置可能在其内部或外部，这条高等于该三角形某一条边的长度的一半，某一条边又可分为底边或腰两种情况，所以要对高在三角形的内部或外部以及高是底边或腰的长度的一半进行分类讨论，最后得出顶角为30º、120º或150º。
四、根据运算性质的适用范围或运算的特殊规定而分类
例６：已知：（a -b）2010 = 1，（a+b）2011 = -1，试求 a2010+b2011的值．
分析：由（a - b）2010= 1，得a -b =1或-1；由（a+b）2011 = -1，得a+b = -1。
因此要分两种情况进行求解：
a-b =1 a -b = -1
或
a+b= -1 a+b= -1
所以a2010+b2011的值为-1或1。
五、当条件或结论不唯一时进行分类讨论
在笔者的多年教学中发现，这种情况是学生感到最困难的，在复习中，要作为分析和训练的重点。
例７：如图，在直角坐标系中，O为原点。点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，tan∠OBA=2。二次函数y=x2+mx+2的图象经过点A、B，顶点为D。
（1） 求这个二次函数的解析式；
（2） 将ΔABC绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置。将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点C．请直接写出点C的坐标和平移后所得图象的函数解析式；
（3） 设（2）中平移所得二次函数图象与y轴的交点为B1，顶点为D1。点P在平移后的二次函数图象上，且满足ΔPBB1的面积是ΔPDD1面积的2倍，求点P的坐标。
分析：由题意得，第3小题的P点到y轴的距离是到x轴的距离的2倍．根据P点在直线x= 的左边和右边，分两种情况讨论：
① P点在直线x= 3/2 的左边时，得P（1，-1）；
②P点在直线x= 3/2 的右边时，得P（3，1）
可见，第3小题的结论不唯一，需进行分类讨论。
正确解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类出各种符合条件的图形。画图能力和空间想象能力也是数学中的重要能力，是正确解答此类分类讨论问题所需要的能力，教学中应注意对学生画图能力和空间想象能力的培养，让学生多操作、多思考，提高学生的数学能力，通过对开放性问题的讨论，对条件的不确定性与结论多样性的探索、猜想，充分拓展学生的思维空间，使他们的思维更深刻、广阔、活跃。
六、根据图形的位置变化进行分类讨论
在中小学数学课程标准中，对直线与圆、圆与圆的位置关系的教学要求是：掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系以及相应的数量关系，并经历直线与圆、圆与圆的位置关系的动态变化过程，体验运动变化、分类讨论的思想和量变引起质变的观点。
例８：已知⊙Ｏ的半径为５ｃｍ，弦ＡＢ∥ＣＤ，ＣＤ＝６ｃｍ，ＡＢ＝８ｃｍ，求ＡＢ和ＣＤ的距离。
分析：两平行弦的位置关系有两种: ＡＢ、ＣＤ在圆心O的同侧, ＡＢ、ＣＤ在圆心O的异侧，故分类讨论得：１ｃｍ或７ｃｍ。
例９：已知点P在线段AB上，点O在线段AB延长线上。以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点。
（1）如图，如果AP=2PB，PB=BO．求证：△CAO∽△BCO；
（2） 如果AP=m（m 是常数，且m >1），BP=1，OP是OA、OB的比例中项．当点C在圆O上运动时，求AC∶BC的值（结果用含m的式子表示）；
在（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和
以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围。
分析：第（3）小题讨论圆B和圆C的位置关系，要用到
两圆的五种位置关系进行分类讨论。
由第（2）小题可知AC=m·BC，
(A) 当1< m <2时，⊙B与⊙C相交；
(B) 当 m = 2时，⊙B与⊙C内切；
(C) 当 m >2时，⊙B与⊙C内含．
初中数学中的分类讨论问题主要是以上几种动因引起的分类讨论，分类时要统一分类标准，做到不重复，不遗漏；逐类讨论，分级进行；最后归纳总结，得出答案。教师可根据初中学生的特点，教学中遵照循序渐进、逐步深化的原则，并采用灵活多变和有效的教学手段来实施分类讨论方法的教学，培养和发展学生思维的条理性、缜密性，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。
