55 华 晴
化无形为有形
——培优题的解题策略及功能
江苏省江阴市实验小学 华 晴
在学习“长方体和正方体”这部分内容时，我渗透了这样一组题目：
1、在一个棱长10分米的正方体玻璃水箱中，水的深度是6分米，放入一个长是5分米，宽是4分米，高是3分米的长方体铁块后，水位上升多少分米？
2、一个正方体水箱，棱长10分米，里面装有5分米深的水。如果将一个长8分米，宽5分米，高4分米的小长方体铁块浸入水中，水面将会上升多少分米？
3、有一个长方体容器，它的底面是一个边长60厘米的正方形。容器里面直立着一个高1米，底面是边长为15厘米的正方形的长方体铁块，这时容器里的水深是0.5米。现在把铁块轻轻向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？
【解题思路与操作策略】
这个题组的三道题都是关于物体入水造成水位高度发生变化的问题。
第1题比较简单，学生利用“上升的水的体积=铁块的体积”这个等量关系，先求出铁块的体积，也就是上升的水的体积，然后除以容器的底面积，得到上升的水的高度。
第2题，学生原生态的解答方法是：8×5×4÷（10×10）=1.6分米。当我提出有没有不同的解法时，全班鸦雀无声。我马上在黑板上进行画图，把其中一种不完全浸没的情况展示出来，学生意识到在不完全浸没状态下，上升的水的体积≠铁块的体积，用解答第一题的方法来解答这道题显然不合适。马上有学生提出用方程解答。我肯定了学生用方程解答的思想，并一起带领学生寻找等量关系。浸在水中的铁块体积+水的体积=现在容器内所有物体的总体积。为了避免学生计算铁块的总体积，我就把露出水面部分的铁块擦掉，让学生理解水位上升的高度只决定于浸没在水中部分的铁块的体积的大小，水面以上的部分再短或再长，不会对水位的高度造成任何影响。然后方程法呈现：
解：设水位上升了X分米。
5×4×（5+X）+10×10×5=10×10×（5+X)
为发展学生的空间观念，我同时让学生尝试理解在这个变化过程中，牢牢抓住不变量，即水的体积不变。带领学生思考，为什么铁块入水，水位会上升？铁块把部分水排空，挤压到周围，那实际上，水只能占据容器底面哪一部分的面积？根据生活经验，尝试画图。学生能够想象出回字形的平面图。
利用水的体积不变，用“水的体积÷水所能占据容器的底面积”求出现在的水位高度，再减去原来的水位高度，就能解答出上升的水位高度。解决这个问题的难点就是要帮助学生理解水现在所能占据的容器的底面是一个回字形。
第3题。难点一：对问题的理解不到位。露出水面的铁块被水浸湿的部分长多少厘米，包含了两部分的长度：提起的24厘米和提起铁块后水位下降的部分。难点二：怎样求提起铁块后下降的水位高度。我参照了小数报《冰释前嫌》这篇文章，跟学生交流，由于水具有流动性，致使不少人认为铁块向上提起后空出的部分空间就被容器底部的一部分水给填充了，这是一种认识上的偏差。我们可以假设将原来容器里的水冰冻起来（此时的冰块中间插着一个长方体铁块），把铁块向上提起，这时冰块下面会出现一个小窟窿（体积为15×15×24）。为了把出现的冰窟窿填满，就必须从原先的冰块上凿下一些冰来，而这些冰的底面积就是“60×60－15×15”，因此凿下的冰块厚度（即铁块提起后水面下降的高度）就是15×15×24÷（60×60-15×15）=1.6厘米，最终露出水面铁块上被水浸湿的部分长度为1.6+24=25.6厘米。
【习题价值与功能】
1、 充分发展学生的空间想象能力，培养学生的空间观念。
在指导第2题的解答过程中，需要学生对“回字形”底面积理解到位才能用算术方法有效解题，在此过程中，最好要让学生现场操作，观察，这样能真正了解水所占据的底面积到底如何计算。
在第3题的指导过程中，有了上题的基础，部分学生能理解原先水占据的底面积就是回字形，所以求下降高度是会用出水铁块的体积÷回字形底面积，但是由于考虑到水具有流动性，有的学生还是无法理解，所以采用“冰冻法”帮助学生理解吗，真是一种很好的策略，化无形为有形。
2、 沟通解决问题的方法，异中求同。
如果说第1题的解答比较简单机械，那么第2题的解题指导过程中，我们可以注意两点：
第一，怎么判断是否完全浸没？解决一个长方体铁块怎样入水的问题，必须指导画图，把8分米作高，那么5×4的面就是底面，这时的8分米超过原有水位高度，出现不完全浸没。把5分米作高，那么8×4的面作为底面，5分米高度与原有水位高度相同，入水后水位升高，一定是完全浸没。把4分米作高，那么8×5的面做底面，也是完全浸没。让学生意识到：三种作高的思考方式，入水后带来两种不同的结果，就是完全浸没和不完全浸没。
第二，完全浸没和不完全浸没的两种情况，解题思想能否统一？
两种情况，都可以指导学生理解“水的体积+水中部分铁块的体积=总体积”。只不过，完全浸没时，水的体积+整个铁块的体积=总体积；不完全浸没时，水的体积+入水部分的铁块体积=总体积。同时必须强调总体积的计算是“容器底面积×现有水位高度”。
不管是入水还是提起，都有一个思想：入水部分的铁块体积÷水能占据的底面积=上升的水的高度。同理：提起部分的铁块体积÷水能占据的底面积=下降的水位高度。
数学培优题，要抓住题目的难点，找到突破点，尤其是形体部分的内容，更需要给学生搭建一个有形的支架，才能撑起一方晴空！
