62 李 刚
浅谈数学学科观点的重要作用
新疆乌鲁木齐市第97中学 李 刚
摘 要：由于认知能力及思维发展的限制，学生往往只注意数学知识的学习，而忽视了联结这些知识的观点。因此，在教学中若能挖掘出数学概念、定理中所蕴含的数学思想；在数学推理与问题解决中，有意识地展现数学方法，不仅可以开启思路、提高解题效率，还可以强化方法意识，使学生的思维品质得到升华。因此，数学的学习既是知识的学习又是学科观点的认识，提高思维品质和整体素质。
关键词：数学学科观点 思维能力 客观依据 数学思想
当代教育专家曾经说过：“数学教学的意义远远不止是知识的传授，更为重要的应该是它对人的思维能力的影响。”我们在教学中，要能够通过知识这一载体，传达给学生一种学科的观点、思想。这种观念性的东西最终是要影响学生一生的。
追求教参的概括作用，研究解题一题多解，寻找思维捷径，都是目前一线教学中存在的普遍现象。这些现象归结于一个错误认识：数学的知识总结，解题经验的积累才是学好数学的途径。实际上数学教材中蕴含着两条主线：其一是按逻辑体系编排的知识所构成的显性主线，它是数学学科的外在形式，是学科知识架构，是学生拓展知识面的客观依据；另一条是蕴含于知识的发生、发展和应用过程中的学科观点所构成的隐性主线，它是数学发展的内在动力，是数学知识的“灵魂”。数学的学科观点是数学最本质、最具价值的内容，因为它是现实世界的数量关系和空间形式反映到人脑中，经过思维活动而产生的对数学事实与数学理论的本质的认识。
第一个蕴含重要的数学观点是在函数的教学中，要让学生时刻感受到两个变量在相互依赖和相互影响。不要用定义域，值域，图像，性质……等教条性的语言充斥课堂，我们要引导学生理解函数的问题中自变量如何确定以及如何影响函数的因变量的变化，让学生明确函数的性质都是由函数的自变量的变化引起的。
例如下面这个题：如图，的动点在正方体的对角线上，过点做垂直与平面的直线，与正方体表面相较于,设，则函数的图像大致是 。
在引导学生理解上述问题的过程中，要能够始终坚持函数的观点。对于条件“设，则函数的图像”的解读要突出长度的变化对线段长度变化的影响，也就是函数自变量对函数因变量的影响。这种影响的分析要有层次，由浅入深的进行剖析。如从动点在正方体的对角线上运动的过程中，线段的长度由小逐渐增大，当增大到最大之后开始减小。这个变化的过程从代数的角度看，就是当自变量从开始逐渐增大的过程中，函数的变化趋势是先增后减。因而在四个选项中，A,C反映出来的变化趋势是不符合上述分析的。实际上从几何角度观察线段运动形成的轨迹是一个过立方体顶点及棱中点的菱形。如图在中，,而是一个确定的角,因此，线段与线段长度的比值是确定的，它们之间的关系是线性关系，所以图像是直线型的，故选B。
在这道题的讲解中，一定要克服以找到答案为目的的分析方法，如取特殊值等。要让学生在分析的过程中感受到函数的观点所发挥的作用，要学会用函数的观点去分析两个变量之间关系的问题。
第二个重要的数学观点是在平面解析几何的教学中，始终贯穿“曲线与方程”的观点。让学生能够深刻地体会到用代数的方法研究几何的问题，即在几何上，动点运动形成轨迹。进而将动点放在直角坐标系中，我们去研究动点运动的规律的代数形式是怎样的，即与动点运动所形成的的轨迹等价的关于动点坐标，所满足的方程。并通过研究这个方程，我们来判断出动点运动的几何性质。这就是解析几何的思考问题和解决问题的过程。
如在必修2的解析几何初步中，是以直线与圆的方程为载体，使学生初步理解并掌握平面解析几何的基本思想，学会用解析几何的思维去分析和解决几何问题。老师在这部分内容的教学中，不仅让学生掌握直线与圆的方程的本质，真正体会用代数方法解决几何问题的思维过程。
在直线方程的建立过程中，如果仅仅是通过直线上的任一点与定点所确定的斜率为k建立关于动点坐标所满足的方程就认为是直线的方程的话，常常会导致学生对曲线方程的中片面认识和误解，这种误解随着用类似的方法建立元的方程而加深。理科学生在高二选修圆锥曲线是，会对学习的必要性产生怀疑。文科学生由于在选修模块的学习中不接触曲线方程的概念，就更无法从曲线方程的高度去认识解析几何的代数化的思维依据了。
因此我们在教学中一定要从“几何”“代数”两方面去渗透“曲线方程”的概念。从几何角度看，在直线方程的接力过程中，首先让学生思考：如何理解直线的几何特征，对于过定点P的直线l,直线l上的任意一个不同于点P的一个点M，点M与定点P所确定的斜率是确定的值k.同样，平面上的任意一个点M与点P所确定的斜率如果是k，则点P一定在直线l上。从代数角度看，直线l上的任意一个点M 的坐标满足直线的方程；直线的任意一个解为坐标的点M，由于它与定点P的坐标多确定的斜率为k, 所以点M在直线l上。
例如下面这个题：若直线通过点，则（ ）
A. B. C. D.
对本踢理解不到位的学生常常是把点的坐标直接带入直线方程，则通过比较复杂的三角恒等变换，得到有关，所满足的不等关系。这是解析几何的学科观点不到位的表现，也是没有真正的理解理解问题所致。实际上，从解析几何的观点看，点并不是一个定点，而是动点。那么这个动点沿着什么轨迹运动呢？不难发现这个动点的运动轨迹是个单位圆。
所谓若“直线通过点”，实际上是直线与圆有交点的问题。代数化问题，圆心（0,0）到直线的距离小于或等于半径1.也就是，因此有。
这个问题的解决给我们的启示是：我们在教学中的责任是把能够反映出学科观点的思维方法充分地揭示个学生，而不能把它淹没在类似一题多解的讲解中。
清楚理解数学学科观点，既有提高教学质量的近期效果，也具有全面提高人的素质的远期效果。数学学科观点是对数学规律的理性认识，它具有本质性、概括性。我们数学教师在传授知识的同时，必须明确、恰当地讲解与渗透。在数学教学中，展现数学思维过程是培养创新意识的重要途径。由于数学的学习过程不仅是知识的接受、贮存和应用的过程，更重要的是思维的训练和发展的过程。因此，在数学教学中，师声双方要尽可能多地暴露思维过程。如果忽视这一点，那么创新意识的培养也就成了“无源之水”。所以在教学中教师应加强基本数学观点的渗透，结合数学思想方法的教学，使学习者极大地提高学习质量和数学能力，学生将受益终生，这是提高素质教育的一个有效措施。
