38 傅永安
分式方程增根产生的原因及解法举例
河南省禹州市朱阁乡马坟村 傅永安
关键词：分式方程 增根 检验 分式方程的解法
众所周知，解分式方程时可以通过去分母把分式方程化成整式方程，分式方程化成整式方程后，扩大了未知数允许取值的范围，有可能产生增根，所以解分式方程必须验根，把增根舍去。
一般来说，分式方程经过整理，化简都可以化成 的形式，子式 是几次整式，方程就有几个根（真根＋增根），子式 和母式 有几对公因式，方程就有几个增根，就是说，分式方程的增根实际上就是使分母为零的未知数的取值的集合，因此解分式方程时，检验不必代入原方程，只代入分母，使分母为零的未知数的值便是增根，反之不是增根。下面举例说明分式方程的解法：
方法一：去分母法
例1：解方程
解：去分母得
∴
检验：当 时，
∴ 是增根，舍去
当 时，
∴ 是原方程的根
方法二：分子分母约去公因式法
例2：解方程
解：原方程可化为
分子、分母约去公因式得
令 得
这就是原方程的根，不必检验，何等简便。
方法三：方程两边各自通分法
例3：解方程
解：两边各自通分，得
整理，得
∴
是原方程的根
方法四：按要求作分式方程
例4：求作一个分式方程，使其有增根3和5，一个真根2。
分析：依题意， 有三个根，2，3，5最简形式为 ， 有两个根3和5，最简形式为 ，因此，所求作的方程为：
方法五：利用分式方程的增根，确定方程中某系数的值
例5： 为何值时，解分式方程 有增根2？
解：原分式方程有增根2
∴ 是方程 的根
把 代入 得
故 当 时，解原方程有增根2
方法六：换元法
例6：解方程
解：注意到
于是原方程可化为：
令 得：
∴
当 时，有
当 时，有
经检验，它们都是原方程的根
∴原方程有四个根： ，
以上内容，实际上就是分式方程的题型和解法，运用得好，可以起到事半功倍的效果。
