齐苡敏 《九章算术》刘徽注勾股章中的变式思想

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《九章算术》刘徽注勾股章中的变式思想

新疆乌鲁木齐市第58中学     齐苡敏

摘  要：本文从《九章算术》勾股章的角度对变式思想进行一下梳理，主要从以下几个方面：一题多解，一题多变，一法多用，一图多变，恒等变式等分析中国古典著作中的变式思想，并从数学教育心理学方面进行了剖析，以期对当今的数学教育研究与实践提供一定的借鉴。

关键词：《九章算术》   变式思想

自20世纪80年代以来，中国中小学生在国际数学教育成就调查(IEA) 、奥林匹克竞赛（IMO）及Pisa 的测试中都取得了优异的成绩。有许多西方学者经过调查研究认为，中国人的数学学习过程存在悖论，即：中国的数学教学方式是“被动灌输”和“机械训练”的，不具有先进性，但中国学生的成绩又优于西方的学生。其实，西方学者只是看到了中国数学教学方式的表面现象，中国数学教学方式本质上是变式教学。变式教学在中国是一种传统和典型的教学方式，不仅有着广泛的经验基础，而且也经过了实践的检验。这种变式思想在我国古代经典著作中都有所体现。本文从《九章算术》勾股章的角度对变式思想进行一下梳理，以期对当今的数学教育研究与实践提供一定的借鉴。

一、《九章算术》勾股章中的变式方法

我国的《九章算术》中隐含着我们在教学中通常使用的变式方法：一题多解，一题多变，一法多用、一图多变和恒等变式等。现从《九章算术》的勾股章中我们来看一下变式方法在古代数学著作中的体现。

《九章算术》的勾股章由三部分组成：从勾股定理出发勾股弦互求得问题，利用勾股比例求勾股容方、容圆和测量问题和求勾股数的问题。勾股章共有24问，第1-14问主要是勾股定理的应用，17-24问是勾股比例的应用，14和21问是求勾股数，本章取勾股数达8种，是古世界数学文献中罕见的。勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方, 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2，公式的变形有：a2=c2-b2，b2=c2-a2。

《九章算术》的勾股章的这三部分内容灵活地在应用了勾股定理的变式，不仅在各个内容上而且在各个内容之间也体现着变式的思想.有些内容不仅体现了一题多解，一题多变，恒等变式而且还贯穿着一法多用，一图多变等。现列表如下：

一题多解：

在解决户高多于广的问题中应用了已知弦与勾股差求勾股的公式，已知弦与勾股并求勾股的公式和由勾股差与弦构造了一个二次方程来求勾股的解法。

今有户高多于六尺八寸，两隅相去适一丈。问：户高，广各几何？

给出的三种公式分别是：

,,

此公式被刘徽作了进一步改进为：

,

,

,

,

在解决系索问题时还用到了c与c-b的恒等关系，先求出c+b再 求索长；

在解决勾股容方和勾股容圆问题时不仅用了面积相等的方法，而且用了相似三角形对应边成比例的方法；

在解决邑方出南北门问题时用了三角形相似原理和出入相补原理。在解决这类问题时出现了含有一次项的二次方程，这是现存中国古代数学著作中的第一次出现。

一题多变：

在勾股术中给出勾股弦的关系后对这三者的关系通过不同的问题进行了变化。如已知 a,c-b求 b,c的引葭赴岸，系索，倚木于垣问题；已知c, a-b（或a +b）求 b, a的户高多于广问题；已知a,c+b求 b的竹高折地问题；已知c- a,c-b求 a,b,c中黄方的边长的勾股容方，勾股容圆问题。

一法多用：

在测望部分都是先构造两个勾股三角形，然后用相似原理解决实际问题。如邑方出南门，邑方出西门，邑方出南北门，甲乙出邑等。

在勾股术中最突出的变式是勾股数组通解公式的推导，即勾股数的一般化表示。通过“今有二人同所立.甲行率七，乙行率三。乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会。问：甲乙行各几何?”的解答得到勾股弦的比是 .

在中学课本及参考书中有关勾股数的知识点是：

(1)  能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a2+b2=c2  中 a,b,c为正整数时，称 a,b,c 为一组勾股数；

(2)  记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；

(3)  用含字母的代数式表示 组勾股数：

；

         ；

这些知识点只要求学生能记住就可以了，但学生不知其所以然，通过对《九章算术》中相关内容的学习就可以知道为什么勾股数可以用字母这样表示出来，我相信若学生理解了这个表达式如何得到以后不会再忘记而且对勾股数会有更深刻的理解。

恒等变式：

  《九章算术》勾股章中巧妙地把已知勾股和，勾股差，勾弦差，勾弦和，勾股和与差利用到恒等式的变形中来求勾、股和弦。

在现行的课本及教参中有关勾股定理的许多题目就来源于《九章算术》的勾股章，现举部分例题如下：

二、从数学教育心理学角度分析变式思想

数学活动经验的教学是数学教学变式教学的一种方式。数学活动经验通常镶嵌在动态的数学过程之中，数学活动过程的基本特征是层次性。这种层次性既可以表现为一系列的台阶，也可以表现为某种活动策略或经验。因此，过程性变式的主要教学含义是在数学活动过程中，通过有层次的推进，使学生分步解决问题，积累多种活动经验。用于构建特定经验系统的变式，通常来自问题解决的三种拓展：（1）一个问题多种变化，其中既包括用于铺垫的变式，也包括对原问题的各种引申（如改变条件、改变结论、一般化等）；（2）一个问题多种解决方法，也即将同一个问题的不同解决过程作为变式，去联结各种不同的解决方法；（3）同一方法解决多种问题，即将某种特定的方法用于一类相似的问题，由此可产生一些用于引发化归/探究策略的变式。《九章算术》勾股章中隐含着四种过程性变式。1.在勾、股、弦以及三者和差中任择其一作为已知数来解三角形（边）的7种情形；2.在（1）条件中人选其一，再在三边两两乘积中任选其一来解三角形（边）的10种情形；3.在弦与勾股和差的和差四个元素中任择其一，又在两两和差中任择其一作为已知数来解三角形（边）的7种情形；4. 在弦与勾股和差的和差四个元素中任择其一，又在三边两两乘积中任择其一作为已知数来解三角形（边）的8种情形。

三、《九章算术》勾股章中变式思想对教学的启示

从《九章算术》勾股章中关于勾股容方与均值不等式的关系汪晓勤已做了详尽的阐述，我们还可以从这本古老的数学经典中挖掘出更多可以适用于我们教学中的材料，比如本章中图形的变化，题设情境的变化等都是我们教学中很好的素材。还可以学习美国《数学教师》1979年第6期发表的哈森先生有关《论直角三角形的内切圆与旁切圆直径》一文，对勾股容圆的知识进行拓展。

如今各省市高考数学试题，以思维能力为核心，考查对四基理解的深刻性，不再是课本习题的简单再现，今年湖北省的数学高考题有两道题取于数学史材料，只要我们勤于动脑，擅于联系，擅于总结，一定能在古代经典与现代教学中架起一座桥梁，让我们从学习经典中感悟古代数学家的思想，吸收古代数学家的思想精髓更好地为我们的教与学打下坚实的基础。

参考文献：

[1] 李继闵.《九章算术》勾股章校证举隅.西北大学学报,1993,23(1):1-10

[2] 郭书春译注.《九章算术》译注.上海古籍出版社,2009,373-417

[3] 顾泠沅.教学实验论——青浦实验的方法与教学原理研究. 教育科学出版社,1994

[4] 顾明远主编.教育大字典（简编本）.上海教育出版社,1999

[5] 青浦县数学教改实验小组.学会教学.人民教育出版社,1991

[6] 郑毓信.数学教育：从理论到实践——热点透视与个案点评.上海教育出版社,2001