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刍议均值不等式及其应用
贵州兴义民族师范学院数学科学学院 赵 秀
摘 要：均值不等式是不等式的一种特殊种类，在不等式之中处于核心地位，在解题及现实生活有着广泛的应用，而且也是高考当中的一个重点。本文谈谈均值不等式及其应用，对学生罗辑思维能力及实践能力的培养有着重要意义。
关键词：均值不等式 应用 实践
一、均值不等式及其推广
1、均值不等式
如果a，b是正数，那么
（当且仅当
时取等号）.
2、 均值不等式推广（推广到有限个正数）
如果
那么
（当且仅当
时取等号）.
注意 ① 均为正数；
②若
为定值时，就能确定
的最大值；
若为定值时，就能确定的最小值；
③当且仅当a=b时，等式成立.
总结：一正二定三相等.
二、均值不等式在解题中的应用
1、用均值不等式求极限
例1、求极限
.
解：由
元均值不等式，有
，（分子为项和）
，
从而有
，由两边夹原则知，
.
2、用均值不等式证明不等式
例2、已知
，且
，求证：
.
证明：∵，且,
∴
①
同理有
， ②
③
由①+②+ ③并除以2，得
.
当且仅当
时取等号.
秒点：这道题的精妙在于把“1”进行了转换，使得式子在推导的过程中变得简单、明了.
3、用均值不等式求最值
例3、已知2
，求y=
的最小值.
解：∵y=
∴y=
=
=1.
当且仅当
，
，即
或
时，
y的最小值为1.
4、用均值不等式求函数值域
例4、求
的值域.
解：
，
当
时，
，
，
当且仅当
时，即
时，等号成立； 当
时，
，
，
综上所述，
的值域为
.
5、用均值不等式比较大小
例5、若
，
，
，
，试判断
之间的大小关系.
解：根据题意，可由均值不等式，得
即 
又∵
∴
即 
由于
，所以
，所以不能取等号，
即 
.
三、均值不等式在现实生活中的实践应用
罗丹曾说过：生活不是缺少美，只是缺少发现美的眼睛。这句话同样适用于数学，生活中不是缺少均值不等式的应用，只是缺少我们的细心观察.数学源于生活，又高于生活.因此，均值不等式在生活中，其实是有广泛的应用，例如在机械铸造，建设投资，商品销售，等问题上都有明显的均值不等式的身影.
1、运用均值不等式，解决机械铸造问题
机械铸造工业提供了其他行业发展过程中必不可缺的基础条件，也是各行各业技术装备的主要提供者。工厂根据不同的市场需求就需要生产不同规格的零部件去满足，所以，均值不等式在利用相同的材料制造不同特点的产品的过程当中，就发挥着神奇的作用.
例6、用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2m2的正四棱锥形有盖容器，设容器高为h(m),盖子边长为a(m).
（1）求a关于h的函数解析式；
（2）设容器的容积为V,则当a为何值时，V最大，求最大值.
解：根据题意得：
，然而，
.根据均值不等式可得：
，当且仅当
取等号.此时，
，
，即V的最大值为
.
2、运用均值不等式，解决建设投资问题
随着，人们的生活和生产水平的提高，建设各种公共设施、房屋、厂房等也是日渐频繁，因此，如何利用最少的投资来建设最理想的设施，是投资者最为关心得问题。利用均值不等式，就可以轻松得到比较理想的方案.
例7、某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栏，每一米长造价40元，两侧墙砌砖，每一米长造价45元，顶部每一平方米造价20元.计算：
（1）仓库底面积S的最大允许值是多少？
（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栏应设计为多长？
解：设铁栏长为
，一堵砖墙长为
，则有
.
由题意得：40
+2
①
应用算术平均数与几何平均数定理，得
，
∴
，
即（
）（
）
.
∵
，
∴
，
从而 
.
因此，
的最大允许值是100
，取得此最大值的条件是
，而
，由此求得
，即铁栏的长应是15米.
3、运用均值不等式，解决商品销售问题
商品的销售一直是每一个商家需要面对的问题，商家的生存和发展必须根据市场的需求来改变策略。在一定的条件下，商品的销售量和商品的价格存在一定的函数关系，但是，商品的销售量和价格是有其极限的，盲目的加大投入和提高价格，商家必将亏损。所以，商家在策划这方面时，应该运用均值不等式检测是否合理.
例8、某商品进货价每件50元，根据市场调查，当销售价格（每件元）在
时，每天售出的件数
，若想每天获得的利润最多，销售价格每件应定位多少元？
解：设销售价每件定为元（），每天获得利润
元，则
设
，则
，有
当且仅当
，即
时，的最大值为2500.
答：每件售价60元时，每天获利润最多，最多为2500元.
领悟：处理均值不等式在解决实际应用问题应该按照以下几点要求进行：
（1）读题和审题，读题时要对题目的条件以及要求要有个粗略的了解，形成框架，审题时要明确题目的各个条件（包括隐含条件），明确求解；
（2）审完题后，设出变量，建立数学模型，即抽象出函数关系式；
（3）在该问题有意义的自变量的取值范围内（即定义域），求出问题的解；
（4）从数学模型之中还原到实际问题之中，写出实际问题的解法和解答过程。
当然，均值不等式的应用还较为广泛，本文是笔者的肤浅体会，有不妥之处望同行谅解！
