24 张炼罗
探求一题多解，培养发散思维
湖南省湘阴县左宗棠中学 张炼罗
摘 要：一题多解是培养学生发散思维能力的方式之一，能帮助同学们很好地理解和灵活运用数学知识，理清知识之间的网络联系，激发他们学习数学的兴趣，培养他们爱钻研的精神，增强他们在日常生活中分析问题、解决问题的能力。
关键词：一题多解 发散思维
一题多解是培养学生准确理解和灵活运用数学知识及方法的有效途径，也是培养学生发散思维能力的方式之一，正所谓“条条大路通罗马”．通过多种途径解决问题，可以培养学生日常生活中分析问题、解决问题的能力，享受一题多解的快乐．下面通过一个实例来说明这个问题．
题（2016年全国卷1，理科20题） 设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
在这里我们主要以第（II）题为例来探讨一题多解的乐趣。
解法一：
当直线与轴垂直时，其方程为=1，易得
当直线与轴不垂直时，设的方程为
由 得
则
所以弦长，过点B（1，0）且与垂直的直线m的方程为： ,点A到直线m的距离为, 所以
故当直线与轴不垂直时
综上，。
这是一种很常规的解法，大部分做了此题的同学都是采用了这种解法。
解法二：; 设，
若m=0，直线的方程为=1，易得
若
则
则;
圆心，
所以
故
综上， 。
解法二巧妙之处在于设直线方程为，无需讨论直线的斜率存在否。
解法三：设直线的倾斜角为
直线的参数方程为，代入，得
则
可求得
垂直直线的直线PQ的参数方程可设为：，得，
故，由。
解法三巧妙的利用了直线的参数方程，尤其考查了直线的参数方程中关于参数t的几何意义，这一解法对考生理解直线的参数方程参数t的几何意义要求较高。
解法四：如图，设直线的倾斜角为设直线PQ的倾斜角为，
在中由余弦定理有，
又可解得
同理可得
所以
圆心A至直线PQ的距离为
故
1，故
解法四运用了解斜三角形与解直角三角形的相关知识，充分体现了正、余弦定理在解析几何中的重要作用。
解法五：（极坐标法）以点B为极点，X轴正向为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为
设直线的倾斜角为，，不妨令直线PQ的倾斜角为（倾斜角为时同理可得），
则
圆A圆心到直线PQ的距离为
故
由，故
解法五运用的是圆锥曲线统一的极坐标形式， 这一内容对考生来说较偏，本题选取B点为参照点不但求面积便于计算，且恰好符合圆锥曲线统一的极坐标形式建立极坐标系的要求，即以点B为极点建系，可谓是一举两得。
以上五种解法，分别从五个不同的角度，用到了弦长公式、直线的参数方程、解三角形以及圆锥曲线的统一极坐标方程等内容求解了本题，非常巧妙。一题多解能帮助同学们很好地理清知识之间的网络联系，开拓他们的思维，激发他们学习数学的兴趣，培养他们爱钻研的精神，增强他们在日常生活中分析问题、解决问题的能力。
