35 谭跃东
观察法—巧解数学题的好方法
湖南省新化县第一中学数学组 谭跃东
提高解题速度，赢得充裕的时间，是争取主动的有效手段.联想型观察法,俄国生理学家巴甫洛夫有句名言“观察、观察、再观察”，良好的观察力是学生成功地完成解题的重要前提。
观察本身不是一种独立解数学题的思维方法,但它是产生数学思想方法的基础.解题者有目的地对数学问题中各种信息进行直觉感受,从中发现并获取必要的信息,当观察的信息比较熟悉,与自己掌握的解题模式很接近,那么解题者很快就会进入试探过程,大部分这类问题便可很快获解.观察可从以下几方面入手:
一、观察关系式的特征
问题中给出的各类关系式,常常对问题的求解指出探索的思路.
例1. 已知的最小值
分析:此题一般观察可断定用判别方法,若再仔细观察则可发现分子能写成: .
可试探用均值不等式:
则
当且仅当即时取等号
即时,
二、观察式子结构的异同
若能观察问题中的差异，发现式子间的共同特征，找出一般特征，就能找到解题途径.
例2 已知动点P满足
①
②
且 , , 为常数)，求P点的轨迹方程.
分析:仔细观察两式,其结构相同,知、是关于Q的方程 … ()的两个根.
再观察此方程与另一已知条件的差异,应把式化成含正切函数的方程.所以有
即
由题设知、为这个关于 的一元二次方程的两个根.则
由 可得: 即
亦即 为所求.
三、观察问题的结构特征
认真观察问题的结构特征,联想有关的公理、定理、公式等,能找到已知与未知的联系.
例3 求函数的最小值.
分析:观察表达式的结构特征, 发现它近似于两个两点间距离公式的和,于是将其变形为
可作图(，观察图形特征,表示轴上的动点到两定点与的距离之和.显然此距离之和在线段AB所在的直线与轴交点处取到最小.故当时,的最小值为.
四、观察隐含条件
一般的题目不会直接把与解题有关的全部信息明确表示出来.因而, 通过仔细观察，发现隐含条件，是解决问题的关键.
例4 在实数范围内,设,则的个位数字是( ).
( A)1 ( B)2 ( C)4 ( D)6
分析:已知条件中隐含着且
.
解得,,.而,使的表达式分母为零,故只有合题意.
此时
.
因为的个位数字是6，所以的个位数字是4.
五、改换观察问题的角度
有一些问题,如能根据题中所给的信息,不断地改变观察问题的角度, 往往能获得“柳暗花明又一村”的效果.顺利获得解答.
例5正三棱台的上、下两底边之比为2:3,截面与把此三棱台分为三个三棱锥(如下图).求这三个三棱锥的体积之比。
分析:该题似乎无从下手.
若观察三棱锥与, C C B
可看出它们的高相等,故体积之比等于
其底面面积之比,于是有
:=:=:=4:9.
再改变观察角度：把三棱锥看成以为顶点,以为底面的三棱锥,
而又与三棱锥的高相等,其体积之比等于底面面积之比,有:=:=:=2:3=4:6.
::=4:6:9
六、观察问题中数或式的特征
我们学过的数或多项式的特征是可利用的，如数的组成，勾股数与方程，数与函数的关系，只要仔细观察，发现数或式之间的内在联系，往往能找到解决问题的突破口。
例6已知三角形的三边分别为108、144、180，求此三角形的最大角。
分析：本题用余弦定理计算比较麻烦，若认真观察数与数之间的特征：108：144：180＝3：4：5，
则由勾股定理易知此三角形为直角三角形，所以最大角为90°。
例7 求证：
分析：观察可知：
累加得
七、观察关键字和条件
关键语句和条件往往是解题的钥匙，通过观察，理解其意义，就会发现解题的方向.
例8 已知，式中的字母均表示大于零的实数，求的值.
分析：∵关键条件：根号内为非负数。
即且
∴
人们常说：“眼睛是心灵的窗户”，而观察的好坏决定这扇“窗户”能否充分地敞开.良好的素质和合理的观察,是一种数学能力的体现,为形成良好的数学思维能力,应该多培养观察能力.即“观察、观察、再观察”。
总之，为能有效地提高观察能力，我们对所考察的数学对象，既要看整体、全貌，又要看局部、细节；既要看数字特点，又要看图形特征；既要看明显观象，又要看隐含本质；既要看一般属性，又要看本质属性；既要看共同之处，又要看不同之点；既要看各自特征，又要看相互联系。我们要把观察和思维结合起来．有目的、有计划、有条理地进行观察，不断提高观察的客观性、全面性、精确性和深刻性。这样才有助于我们发现问题、积极思维。
