30 苏志华
泰勒公式及其应用的教学探索
湖南省娄底职业技术学院 苏志华
[摘要] 泰勒公式是微积分学的一部分重要内容，往往较难理解和掌握，泰勒公式主要应用“逼近法”求函数值。通过介绍泰勒公式，并阐述其内涵，进而厘清泰勒公式展开、极限的计算、等式证明、不等式证明等方面的应用，能够拓宽泰勒公式的应用，并加深对该方面知识的理解，对教学有着重要的指导作用。
[关键词] 泰勒公式 应用 教学探索
函数由多项式近似地来表达这一概念本身以及用无穷多个较简单项之和的形式来表示函数的问题，在分析中得到了远大的发展，成为数学的一个独立分支：函数逼近理论，泰勒公式是运用“逼近法”来求函数的值最有用的工具。即泰勒公式给分析应用中的大多数计算问题开辟了道路，其实践的意义是非常巨大的。被展开为泰勒级数的函数似很大的准确度表达了自然界中的许多规律性，物理与化学的过程，物体的运动等等。只要把它们考虑作复变量函数，它们的理论就获得充分的明晰性和完美性。而高等数学教材大部分介绍了泰勒公式及应用它对函数的展开，其它方面的应用很少，本文通过对泰勒公式的一些应用进行论述，旨在对初学者或教学提供参考。
一、泰勒定理及其内涵
1、泰勒定理内容
若函数满足条件：
（1）在闭区间内函数有直到阶的连续导数，
（2）在开区间内函数有阶导数，
则对任何，至少存在一点，使
2、泰勒公式的内涵
（1）泰勒公式是指用一个次多项式来逼近函数，而多项式具有形式简单，易于计算的优点。泰勒公式由的次泰勒多项式和余项组成。当时，有是的曲线在点处的切线方程，称为曲线在点的一次密切。显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似。若当时，有是曲线在点的“二次切线”，也称曲线在点的二次密切。易知，二次切线与曲线的接近程度比切线更好，即当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高。
（2）泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同。但性质各异，定性的余项如皮亚诺型余项，仅表示余项是比（当时）高阶的无穷小。定量的余项如拉格朗日型余项（也可以写成）、柯西型余项。定量的余项一般用于函数值的计算与函数的性态的研究。
二、泰勒公式的应用
1、利用泰勒公式计算极限
利用泰勒公式 求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用皮亚诺余项。当权限公式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。
例1：求极限
解：当时，有
所以，原式
2、利用泰勒公式证明等式
例2：证明：
证明：由泰勒公式，有
将上述两式两边相减可得
或
由
故
则
于是
3、利用泰勒公式证明不等式
例3：设在上连续，在内
求证：，且，有
证明：满足上述不等式的函数是凸函数，一般利用拉格朗日中值定理证明，这里利用泰勒公式来证明。
将在处泰勒公式展开可得：
，在与之间，又
，
将上述两式相加后除以，考虑，得
因为，所以上式右边第二项大于零，故
应用了几种具体的实例，厘清了泰勒公式内涵的具体化表现，当然泰勒公式还有其它方面的应用，如行列的计算、定积分的证明、级数的敛散性的判断，有待进一步探讨。我们在职院数学教学中对泰勒公式进行探索，希望能对教学和学习以及解决实际问题时有所借鉴。
参考文献
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