07 宋亚平
内初班学生数学几何证明问题逻辑书写中的常见问题及应对策略
新疆乌鲁木齐市第五十八中学 宋亚平
【摘要】几何证明问题是初中几何教学的重点、难点，它为进一步学好高中立体几何、解析几何奠定了基础；而几何证明问题的逻辑书写简洁、明了、独特，规范几何证明问题的逻辑书写对培养内初班学生严谨的数学思维、严密的逻辑推理以及语言组织能力具有重大影响。正视内初班学生几何证明题的逻辑书写存在的问题，通过分析问题困境，改进对内初班学生的教育教学方式及方法，改善教学途径，进而提高内初班几何教学质量与效益。
【关键词】内初班 几何证明 逻辑书写 现状 对策
在内初班教育教学过程中，出现内初班学生对几何证明问题的书面表达混乱、缺乏逻辑性、条件不充分、条理性差等的情况不在少数。教学中指导内初班学生对几何的文字语言、图形语言、符号语言之间的理解、转化及提升应用解决问题的能力，对规范几何证明问题逻辑书写在全面提高内初班学生数学逻辑思维等方面有着至关重要的作用。
几何证明问题一直是内初班数学教学中的重点更是一大难点，学生应用能力不足，格式书写不规范，进而影响考试的得分率，其中在2018年四校一模、二模联考后进行四校联合阅卷中，解答题中圆的相关证明与计算题的改卷人数最多，而且效率最低，二模的第22题对圆的相关证明与计算中，最初改此题的老师是4人，到中午增加到18人，而总共改卷的老师仅有20多人，改卷难度大的主要原因是，三种语言的的转化能力低，逻辑书写不规范。而几何证明仅仅是初中几何的一小部分，但是却对培养学生的推理逻辑、三种语言的组织应用能力、提升数学逻辑思维方面有着重大影响。
一、在几何证明问题逻辑书写不规范中出现的常见问题
1、辅助线的添加乱七八糟，与题目无关者甚多。归根结底是定义、定理、性质、判定等，认识模糊不理解、不全面。没有图形、文字、符号相互结合的意识；不知道如何运用几何知识解答遇到的问题，与已有的知识结构缺乏联系；不适应三种语之间的转换应用，这极大的影响逻辑思维的发展，同时降低了形象思维与常规推理的能力。
2、对于几何图形的学习及探究以及对于图形的了解浮于表面，存在随意性。例如：矩形，提到“矩形”学生不约而同回答“长方形”，而其具备的性质有哪些，学生都可以说一些，但能全面说出的少之又少，进而导致在应用解题时分不清题目中的各种隐性条件，导致证明书写无从入手、甚至捏造条件。其主要原因分不清初中几何图形研究的方向及角度，因此不能将题型中的图形与教材图形有机的整合起来，进而很难正确运用性质、定理等解决问题。
3、过于依赖图形凭感觉推理。例如：看到两个三角形形状类似，就开始证明这两个三角形全等；即使例题中的条件不够，也会自己创设、添加条件等，将没有关系的图形硬是结合到一块，设置出现AAA、SSA证全等的不乏少数，同时反映出内初班过于依赖视觉感受，对知识理解不到位，忽略了严谨的逻辑推理。
4、识图脱离数量及位置关系。几何中的很多知识点存在由位置推出数量，或有数量关系推出位置关系，但是学生对知识的理解及迁移较差，导致数量与位置之间出现断裂。无形中添加了逻辑表达书写的难度。
5、知识点死记硬背。内初班学生相对于学区班学生来说，在学习上是比较刻苦的，对于多数的定义、性质、判定等，死记硬背，脱离了图形及符号语言的理解、相互转化表达。例如：在四边形一章中，定义、性质、判定、定理等，知识点较多，不少学生就逐个的背，即使背过了，过不了多久也就忘记了，在死记硬背与生搬硬套中只会出现似懂非懂、一知半解的情形，从而在概括与感知中造成思维断层，导致在应用解决证明问题的过程中经常出现不完整或混乱搭配。
二、规范内初班学生几何证明题逻辑书写的策略
1、在几何证明中，几何中的定理、概念、公式作为论证推理的依据，为了规范初中生几何证明的书写过程，需要结合图形的画法及构成着手在动手操作中提升学生的理解能力。否则容易出现对几何概念、定理等一知半解时就去求证，结果在证明时乱碰胡套，使思维越来越混乱，解题能力没有达到预想的目标。
针对这些问题，在几何教学中，先将起点降到内初班学生已有知识与现实生活中，通过为其提供生动、感性的情境，为理解、掌握知识，打好根基，充分发挥老师的主导作用与学生的主体功能。从生活到课本，再从课本回归到生活，创设知识的情境，在情境中学习，在学习中感受情境、理解知识，促进学生思维发展。
例如，在角平分线定理中，可以引导学生任意画一个角，借助量角器作角平分线；再在角的平分线上任意选取两点，作到角两边的距离，并且度量比较。这是一个有难度的探究问题，涉及到位置、数量之间的复杂转换，涵盖严谨的逻辑推理，而在动手操作的过程中，能让学生将感性知识变成理性知识，使学生理解角平分线上的点到两边的距离相等奠定基础，再抽象出符号推理、表达得到结论，最后结合作图过程及图形、文字、符号描述加深理解。
例如：线段的垂直平分线中的尺规作图。先借助直尺等，进行简单的作图，进而引导学生看图、识图、体会、动手尺规作图、再体会，达到领悟其中的数学知识。不仅要使学会观察，还要知道怎么观察，从哪些角度出发，才能结合认识会分析几何图形的构成、形成其中蕴含的数量、位置关系，真正意义上达到识图、理解，结合理解准确进行教材中基本图形三种语言的描述及表达，为今后从复杂的图形中辨认出基本图形以及图形中含有的知识，理解其中蕴含的数量及位置等关系及数学思想，又有助于在此基础上进一步发展学生的动手能力，即能根据问题与图形与的对应关系，作满足题意的图形，为全面理解此知识点打下坚实的基础。
2、规范的几何逻辑语言表达是做好几何证明题的根本，而图形、符号和文字语言又是几何的专门性语言。三种语言相互映衬、相互关联，既有个性，又相互关联；教学中引导好学生对三种语言的知识点的探究，关注学生的参与度，重视几何知识的形成，并结合图形等形成过程进行严格的文字语言、图形语言、符号语言之间的转化变式讲解训练。以先了解、掌握几何图形的形成过程，再在画图的基础上进行文字语言描述，最后进行符号语言归纳表达，课堂上关注强化三种语言相互转化训练及几何语言表达及书写，体会其中的数学逻辑，为运用好三种语言，规范逻辑书写做好铺垫。将符号、文字与图形有机整合起来，才能有效的规范逻辑表达，完成好几何证明。
3、确保因是果的因，果是因的果，保证因果关系的严谨性、合理性。几何证明问题中的逻辑书写中步骤苛刻，逻辑严谨，让学生深刻意识到证明题书写中的每句内容都必须有根有据，而且必须是条件与结论相对应，避免牛头与马尾的错误对应关系。“∵”必须是题中已知条件或者是问题中已经证出的条件；“∴”中的结论必须是特定的定义、定理、性质、判定等的全部题设条件下，依据该定理推得的严格的此定理的结论，“∵”与“∴”有着严格的对应关系，任意增加、减去部分条件均是错误的行为。归纳学生经常出现的此类问题，分享错误所在实际也是引导正向改正的一个好方法。
4、弄清几何证明中辅助线与三种语言的关系。熟练掌握教材基本几何图形中线段间的数量、位置关系才能有目的的作辅助线，才能综合题目中文字的描述条件，完整的补充出基本几何模型，以基本的定义、性质、定理、判定的图形、符号中缺的条件补充完整的条件的图形就是合适的辅助线，同时还需要正视常用的辅助线法。
例如：证明圆的切线问题中，是作做垂直证半径，还是做半径证垂直是由切线的定义及判定所决定的，一般情况存在圆上的点时，辅助线的确定就是半径或直径。反之，就是做垂直。也就是说，直径、半径与切线互相为辅助线。作辅助线最主要的作用是帮我们找准着眼点，在问题简单化的前提下，以确保证明书写和解题思路正确。
5、由因索果，由果索因，理解正向、逆向分析的方法。由果索因，即逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，对于几何证明题中要求证的结果已经是知道的，因此逆向思维的方法也是一种很好用的方法。在几何定理中，为了确保几何题书写证明正确，必须遵循命题原则，在严格的层层分析推理，辩证地转化知识，锻炼和培养学生的思维能力，这样才有助于激发学生的学习兴趣和准确运用知识，规范逻辑表达。
6、教会学生解决几何证明问题的一般方法，首先弄清几何证明问题中的条件与结论。其次，挖掘支撑的几何知识及题目中的隐含条件，分析现有的条件，查找残缺，结合相关知识推理残缺条件；最后把已知条件或隐含条件以符号语言的要求格式摆出，（必须使所用到的定理等的各个题设条件齐全），就可依该定理推得它的结论，从而达到解决几何证明题的最终目的。
7、熟练掌握所有定义、性质、定理、判定等的题设条件个数和结论个数，即某一问题所应用的知识点是满足几个条件，能得到哪些结论。而条件与结论个数之间一对一、一对多、多对一、多对多都有，平时可以结合图形语言按照边、角、线等的角度逐个分析以加深理解。当在某些条件下有多个条结论，结论部分不用全部写出，需哪些结论，则列出哪些结论，但是条件必须齐全。
8、及时批改作业、纠正细节，防止错误个案蔓延。内初班的孩子由于对国家通用语言和文字的理解能力比较差，经常会出现不理解的知识或问题，而避免不了的用非国家通用语言去交流去理解，因此，在初期改作业等，接触到问题时必须及时帮助孩子纠正，一旦不及时纠正，后期在未察觉中蔓延开，形成一种普遍的习惯就不好改了。这就要求我们在孩子初始接触几何证明问题时认真、细心、耐心、及时。挤时间对学生一一面对面纠错。这样前面功夫下到位，后面学生整体思维规范，就会形成良性循环。以往的书写混乱、没有条理、不知其意等问题就会大大降低，才能最终达到规范几何证明题的逻辑书写。
总之，规范的逻辑书写是深化知识结构，巩固已有知识和体现知识应用能力的综合体；规范的逻辑书写，对激发学生的数学思维、思考，提高教学有效性具有重要作用及意义。教学中采取不同的教学思路和方法，引导和鼓励学生循序渐进地掌握正确书写的方法和技巧。
