38 冯展红
对比 深究 提升
——“最小公倍数”和“最大公因数”对比教学的思考
江苏省江阴市实验小学 冯展红
概念是思维的细胞，概念教学在数学教学中具有至关重要的地位，尤其是通过抽象的逻辑建构产生的概念，它们是学生后续数学学习的逻辑前提。“最大公因数”和“最小公倍数”就是这样一个比较抽象、内涵比较丰富的数学概念。
一、对比求法，深究差异，提升技能
课堂教学对比：
【例题】8和12的公因数有哪些？其中最大的是几？
8的因数：
12的因数：
8和12的公因数有：
其中最大的是：
学情如下——8的因数：1,2,4,8。12的因数：1,2,3,4,6,12。8和12的公因数有1,2,4。其中最大的是4。
学生运用列举法求出了8和12的公因数及最大公因数，列举法是一种借助对一具体事物的特定对象，从逻辑上进行分析并将其本质内容全面地一一罗列出来的手段。在教材中，利用一一列举“找”的方法是求最大公因数的基本方法。
教师追问：有没有也是列举，但和板书的方法有所不一样？
生1：我只写出了8的因数1、2、4、8，这些数中1、2、4也是12的因数，所以1、2、4是8和12的公因数，其中4是8和12的最大公因数。
生2：我写出了12的因数1、2、3、4、6、12，从中去找8的因数有1、2、4，这样找出8和12的公因数是1、2、4。最大的一个是4。
列举法优化：说说你最喜欢哪种列举的方法？为什么？
师小结：求两个数的公因数以及最大公因数时，列举小数的因数然后找出两个数的公因数、最大公因数比较方便。命名：写小找大（写出小数的因数从中找到两个数的最大公因数）
【例题】6和9的公倍数有哪些？其中最小的公倍数是几？
学生有了用列举法求两个数的公因数和最大公因数的经验后，很自然还是用列举的方法求出6和9的公倍数和最小公倍数。
学情如下——列举6的倍数：6,12,18,24,30……列举9的倍数：9,18,27,36,45,54,63……6和9的公倍数有：18,36……。其中最小的公倍数是18。
教师追问，有没有同学也是列举，但和这种方法有所不同？
生1：我只列举了6的倍数，从中找到了6和9的公倍数以及其中最小的一个。
生2：我把9的倍数列举出来，从中找出6和9的公倍数和最小公倍数。
列举法优化：说说你最喜欢哪种列举的方法？为什么？
师小结：求两个数的公倍数以及最小公倍数时，列举大数的倍数然后找出两个数的公倍数、最小公倍数比较方便。命名：写大找小。
课堂教学深究：
回顾求两个数的公因数及最大公因数的时候，为什么用列举小数因数的方法比较方便？而求两个数的公倍数及最小公倍数的时候，为什么用列举大数倍数的方法比较方便？
小组讨论，交流。得出本质是一样的：从一个数的因数或倍数中去挑选另一个数的因数或倍数，挑选的范围越少越方便。
课堂教学提升：
教师在与学生的交互反馈中，教师重点捕捉了两种不同的找公因数的方法，沟通两种方法之间的联系，在初步掌握一一列举的基础上提炼出“写小找大”方法。在经历基本的一一列举后，教师启发学生在理解基本原理的基础上优化列举方法——从一个数的因数中挑另一个数的因数，这是一种筛选法思想的体现。这样教学，避免了教材降低难度后学生数学技能的削弱，为学生形成技能、提高运算速度提供了可能。同时，在算法优化的过程中，学生经历了比较、分析、提炼、概括等数学思维过程，思维的抽象程度也得以提升。
二、对比应用，深究算理，提升数感
课堂教学对比：
【例题1】一个长16分米、宽12分米的长方形，要分成相等的正方形，正方形的边长可能是几？边长最大是几？
教师组织学生动手画一画，有能力的也可以在脑中想一想，交流的时候配图，学生充分理解到边长为1、2、4的正方形为什么刚好能平均分长方形，出示一个反例，正方形的边长是3可不可以把这个长方形分成相等的正方形？配图实证，发现宽里正好而长里有余。得出必须是16÷（正方形边长）和12÷（正方形边长）这两个算式没有余数，即抽象出正方形的边长是16和12的公因数。1、2、4这几个公因数就具有现实意义。
【例题2】用长3厘米宽2厘米的长方形。分别铺边长是6厘米的正方形和边长是8厘米的正方形，可以正好铺满哪个正方形？这样的长方形纸片还能正好铺满边长是多少厘米的正方形？
教师组织学生画一画或想一想，说出哪种正方形纸片可以将正方形铺满，引导学生逐步感知到公倍数的现实意义。第二问引导学生列出算式（正方形边长）÷3和（正方形边长）÷2这两个算式没有余数，建立起解决这类问题的数学模型，学生的数感也在得到发展。
课堂教学深究：
教师不怕学生混淆，对两个例题同一课时教学。抓住两个例题的共同点：都紧紧借助动手操作感知到公因数、公倍数的实际意义，在分割、画的过程中，引导学生利用数形结合，体会到了公因数和公倍数的算理，再次增强对公因数和公倍数意义的理解。这样避免学生进行机械的记忆和模仿，一旦遇到相同情境类似问题就辨析不清到底问题求的是和公因数相关还是和公倍数相关。
课堂教学提升：
两者教学都是为了提升学生的：（1）数形结合思想。都是在具体的操作中进一步认识概念，理解概念的实际意义。(2)积累活动经验，发展和同伴合作交流的意识和能力。（3）能在解决问题的过程中进行有条理的思考。发展初步的逻辑思维能力和解决问题的能力。
列举小数的因数相对来说个数要少一点，所以写小找大；列举大数的倍数次数比列举小数的倍数次数要少、找的更快，所以要写大找小。
