新疆乌鲁木齐市第五十八中学 齐苡敏
数学史融入数学教学是HPM 研究的中心课题之一。国内一些学者已经开发了一批HPM 视角下的教学设计，其中 HPM 视角下的“角平分线”教学就是其中一例。如何将数学史融入数学教学是HPM 研究的中心课题之一。在与中学一线数学教师合作开发 HPM 案例的过程中，我们发现，他们手头缺乏有关的数 学 史 材 料；在 我 们 提 供材料后，他们在材料 的 取 舍 上 也 存 在 一 定 的困难。“角平分线”是 初 中 数 学 中 的一 个 知 识点， 角平分线 问 题 或 许 源 于 生 活 实 际，但 古希腊数学家 并 不 重 视 数 学 的 实 际 应 用，因 而我们很 难 在 古 希 腊 数 学 文 献 中 找 到 有 关 证据。而从数 学 内 部 看，角 平 分 线 问 题 的 起 源应该是很清 楚 的，那 就 是 古 希 腊 三 大 几 何 难题之一的化圆为方问题的求解。
该文从角平分线的起源、作图、推广、应用等方面收集历史、文化素材，在趣味性、科学性、有效性、可学性、新颖性五项原则的指导下，采用附加式、复制式、顺应式、重构式四种方式，对“角平分线”进行了HPM 视角下的教学设计．但设计的过程中的问题都是老师提出的，没有充分发挥学生的创造性能力．
早在20世纪上叶， 问题提出已经开始受到心理学家的关注．80年代以后，众多学者开始研究并强调问题提出的教育价值．爱因斯坦说过，提出一个问题比解决一个问题更重要。教师可以通过问题提出了解学生对数学的理解情况。但现阶段不论是小学还是中学，教师和学生的参考资料很多，教师选取现成的例题给学生讲解，学生用现成的习题进行练习巩固，长此以往就压抑了教师和学生提出问题的能力，其实提出问题是教师进行创作性的一种教学活动，提出问题需要深厚的知识功底。数学核心素养的六个部分都要求学生能在一定情境中提出问题，所以在教师教和学生学的过程中都要训练提出问题的能力，能不能提出好的数学问题对学生来说很重要。
我国2001年数学课程标准在问题解决的课程目标中强调学生要“初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识”。1994 年，著名的美国教育家Silver 全面而深入地论述了问题提出在课程和教学中的重要作用：问题提出是创新式教学的一种重要标志，是研讨式教学的一种重要的组织方式，是数学活动的重要形式，是提高学生问题解决能力的重要方法，是探测学生数学理解的重要渠道，同时也是培养学生数学气质的重要手段．本文试图通过学生在数学史知识的背景下提出有关角平分线的问题，并通过解决这些问题加深对角平分线相关知识点的理解和掌握，并培养学生的创新能力。
一、问题提出的概念
著名的教育学家 Leung 和Stoyanova 等都对问题提出的概念做出了界定．例如，问题提出是学生在不知道问题答案的情况下提出数学问题的过程；问题提出是学生在数学经验的基础上对具体数学情境的个体建构，并把这种数学建构作为数学问题提出的过程．同时，1994 年Silver 也指出，问题提出指新问题的提出和对已有问题的重新阐释，它可以发生于问题解决之前，问题解决之中和问题解决之后．
本节课是对学生已学习了角平分线的相关知识点后的一节复习课的设计，给出的图形在教材中出现过，学生比较熟悉，教材中的图形很简单，但从这个图形中学生可以利用学过的知识提出一些稍复杂的问题。
二、相关历史
1、图1所示是欧几里得《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”此即：作一个已知角的平分线。
图1
二、图2所示是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB上分别取点D 和E，连结DE，在DE 上作等边三角形DEF，则OF 就是角AOB 的平分线．欧几里得的作图法是教材上作图法的特殊情形．其中，在一条已知线段上作一个正三角形，是《几何原本》第1卷的第1个命题。
图 2
3、美国数学史和数学教育家史密斯（D.E.Smith,1860-1944）在教师培训教材《几何教学法》中，提供了角平分线的两种实际应用。
第一个例子是，如图3，要在两条街道所形成的岔路之间、距路口一定距离处安装一盏路灯，问灯柱该立在何处？显然，要使路灯照得两条街道“一样亮”，就必须将灯柱立于两街所成角的平分线上。
第二个例子是，选择一个晴天，让学生在上午9点左右，在操场上一点Ｎ 处立一根高约5英尺的直竿，测量直竿影子的长度，并在影子的末端W 处做一个记号；到下午3点左右，再测量直竿的影长，等到影长与上午测得的影长NW 完全相等时，在影子的末端E处做一个标记，于是，如图4，角WNE 的平分线位于正南北方向；当太阳的影子位于NS上时，时间就到了真太阳时的正午时分（与钟表上的12点有出入）。
图 3 图 4
三、教学设计与实施
1、提出问题
（1）给出学生熟悉的角平分线的作图图 5，让学生观察图形由自己给出条件和所求的结果，可以是解答题也可以是证明题。
图 5 图 6
（2）给出美国数学史和数学教育家史密斯在教师培训教材《几何教学法》中提供的角平分线的两种实际应用题的图形，让学生观察图形由自己给出条件和所求的结果，可以是解答题也可以是证明题。
2、提出问题的方法
1969 年，美国学者 B row n 和 W alter提出一种否定属性(若非一则如何) 的问题提出策略（what-if-not）”。具体做法是：（1）确定分析对象（如已知的命题、问题或概念）；（2）列举分析对象的各个属性；（3）思考所列举的每个“属性”（如果这个属性不是这样的话，那它可能是什么？）（what-if-not）；（4）根据上述对于各属性的分析提出新的问题；（5）对所提出的新问题进行选择，也就是在提问过程中要对已给的源信息进行处理，首先要领会信息(comprehending)，其次是转换信息(translating)，第三是编辑信息(editing)，最后是选择信息(selecting)。他们将这种策略分为 5级水平 ：水平0：选择出发点 (如定理、具体材料、问题等)；水平1：列出各属性 ；水平2：否定各属性，列出相应新属性；水平:3：根据新属性，提出新问题；水平:4：分析、解决所提新问题。
提出问题中的领会信息指学生理解已知情境中存在的数学信息，如数字关系，图表、公式等而提出问题；提出问题中的转换信息指学生通过转换已知情境中的图、表等数学表征形式提出合适的数学问题，转换信息对学生理解问题中的不同数学表征之间的关系提出了更高的要求；提出问题中的编辑信息指学生在领会、转换的基础上（需要转换的时候）根据已知情境中提供的数学信息、提示而提出问题；提出问题中的选择信息指学生选择已知情境中的提供的数学信息，针对其数学结构、关系提出问题。
通过观察图形，学生可以给出的条件有:三角形为等腰或等边三角形，
为外角平分线，
为内角平分线等，也可以给出三角形边的长度，结果可以是求解三角形其它边的长度或周长，面积，比率等，也可以是求证一些结果成立，如学生能提出以下问题将说明该学生的创新能力较强。
学生可能给出以下问题：
1.若
点是 
的外角 
和 
的平分线的交点，求证：
2. (图 6)
都是的外角平分线.求证：
四、结语
本节课的设计是在数学史的基础上通过学生提出的问题来巩固学生所学的知识，并提高学生的创新能力.具体学生能提出什么样的问题，能提出多少问题，如何评价有待进一步研究. 提出问题与解决问题一样，也为教师了解学生对数学概念的理解和掌握情况提供了一扇窗口．虽然仅仅一次教学未能让学生在概念理解上获益，但如果教学中经常安排基于否定属性的问题提出活动，让学生学会列举、否定属性、选择新属性，提出并分析、解决新问题，必能加深学生对有关概念的理解 ，通过学生提出的问题也给教师提供了对学生掌握知识情况的渠道．在教学过程中，教师还可以培养学生更多提出问题的策略，而并不局限于否定属性的方法，学生在提出问题的过程中加深了对知识概念的理解，也促进了对问题的解决。
参考文献：
[1] 汪晓勤.HPM视角下的“角平分线”教学[J].教育研究与评论, 2014, 5: 29-32.
[2] 陈丽敏等. 论问题提出与学生能力发展的关系[J]. 数学教育学报, 2006, 15(3): 31-33.
[3] 王桥.重新认识角的平分线[J].中学生数理化, 2014, 5: 35.
