28 齐忠世
剖析学生解答分数应用题的常见错误和解题策略
陕西省宝鸡市太白县咀头小学 齐忠世
摘 要：分析学生解答分数应用题常见错误的原因，提出解题策略。数形结合引导学生分析分数应用题的数量关系；列方程解答分数除法应用题；重视发散思维训练，优化解题方法；引导学生掌握分数应用题的结构特征和解答方法，总结规律，达到内化，形成认知结构，提高学生解答分数应用题的能力。
关键词：分数应用题 常见错误 解题策略
分数应用题是小学数学的重点内容之一，它的数量关系比较抽象，学生不容易理解，加之这部分内容学生在生活中应用的比较少，所以学习分数应用题时往往感觉比较困难，解题时容易把分数乘、除法应用题的解法混淆，常常会出现各种各样的错误，学习效果也不令人满意。分析造成这些错误的原因，提出相应的对策，有利于帮助学生预防错误，提高解答分数应用题的能力。
一、常见错误原因分析
1、分率与数量混淆，分辨不清
①一根绳子长8米，剪去它的又米，还剩多少米？
学生往往这样列式：8––=6.5（米）。产生这样错误的原因是学生把表示分率的当成了具体数量米，直接相减了。“剪去它的”是表示“剪去8米的”，也就是8×=6(米)。说明这部分学生对分数的意义理解不够深刻。一般来说，当一个分数不带单位名称时，就表示一种倍数关系，即分率，它是由单位“1”的大小决定的。当一个分数带了单位名称时，就一定表示一个具体数量，它的大小是不能改变的。正确地解法：8–8×–=1.25（米）或8–（8×+）=1.25（米）。
②打印一份稿件，小红单独打需要小时，小明单独打需要小时，小红和小明合作完成，一共需要多少小时？
错误的解法：１÷（＋）＝（小时）。这是因为学生被常见的工作效率用分数表示所干扰，而误认为小时、小时是工作效率，把它们直接相加看做合作效率了。正确的解法：1÷（1÷﹢1÷）=（小时）。在此类题的教学引导中，教师要帮助学生仔细读题、审题，分辨清楚工程问题应用题的结构特征和数量关系，深刻理解工作时间与工作效率的内涵，避免这样的错误重复出现。
2、单位“1”的量判断错误
①咀头镇今年造林900公顷，超过原计划的，实际超额完成多少公顷？
错误的解法：900×=180（公顷）。产生错误的原因是学生弄错了单位“1”的量，这里“超额的”对应单位“1”的量是“原计划造林公顷数”而不是“实际造林900公顷”。教师要引导学生明白：当一道题中单位“1”的量不知道时，通常要先计算出单位“1”的量，才能解决相关问题。正确的解法：900÷（1+）×=150（公顷）。
②学校开展植树活动，四年级分得总树苗的，五年级分得余下树苗的，还剩下330棵树苗没有分，学校一共运来树苗多少棵？
错误的解法：330÷（1––）=600（棵）。这道题的错误是没有统一题目中单位“1”的量。“”对应的单位“1”是“总树苗”，而“”对应的单位“1”是“余下的树苗”。 单位“1”不统一，不能直接相加减，应该首先统一两个分率所对应的单位“1”，才能计算出“剩下330棵树苗”对应的分率。正确的解法：330÷【1––×（1–）】=550（棵）。
3、数量与分率不对应
①一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的。第二小时行了全程的，这时距离乙地还有99千米，甲、乙两地间的公路长多少千米？
错误的解法：99÷（+）=220（千米）。这里“99千米”是剩下的路程，而“+的和”是已行路程对应的分率，显然数量和分率是不对应的。教师可通过画线段图等方式引导学生找出题目中隐含的剩下路程对应的分率，再解答。正确的解法：99÷（1––）=180（千米）。
通过对学生解答分数应用题常见错误的分析，可见其根本原因是学生对单位“1”、分率与数量的对应关系等基本概念的内涵理解不够深刻，没有真正形成概念的模型。学生不善于从整体上把握题目中的数量关系，还没有把解题模式上升为一种思维策略，形成分数应用题的结构模块。学生的注意力往往集中在寻找习题的正确答案上，一旦找到正确答案思索便停止了，没有进行思路的反思与概括，不利于知识模型的建构。
二、解答分数应用题的几点策略
1、数形结合引导学生分析分数应用题的数量关系
数形结合的思维方法，是儿童建构数学模型的基本方法。数形结合思想是充分利用“形”把复杂的数量关系和抽象的数学概念变得形象、直观，能丰富学生的表象，引发联想。在分数应用题的教学中，我们经常通过画线段图或面积图弄清题意，分析数量关系，拓宽解题思路，引导学生迅速找到解决问题的方法。
教学时，教师要经常指导学生作线段图训练，使学生掌握作图的基本方法：必须先画出表示单位“１”的线段，注意线段的规范性（要完整、简明、清晰、比例适当），以及作图的灵活性，运用补、截、移、叠等作图技巧，注重作图的科学性。同时引导学生认真观察线段图，分析思考，理解数量关系，使学生的思维与作图同步。这样就能充分发挥线段图的直观启示作用。
2、列方程解答分数除法应用题
列方程解答应用题是学生比较熟悉的解题方法之一。分数除法应用题（特别是比较复杂的分数除法应用题）中单位“１”的量未知，在教学中教师可鼓励学生用方程解答。教师要引导学生认真分析题意，把未知的单位“１”的量用字母表示，利用分数乘法的数量关系式作为列方程的依据解决问题。这样把分数除法应用题的解题思路与分数乘法应用题的解题思路合二为一，降低了分数除法应用题的解题难度，使学生体会到转化策略在数学学习中的重要意义。
列方程解应用题是一种顺向思维，学生容易理解和掌握，这样也为中小学的知识衔接和学生发展奠定了基础。
3、掌握分数应用题的结构特征和解答方法，总结规律，达到内化
在分数应用题教学的第二阶段，教师可引导学生在第一阶段学习的基础上，通过观察、对比等方式，启发学生发现、总结分数应用题的结构特征和解答方法，构建知识模型，提高学生解答分数应用题的能力。
（1）正确地找出题目中的单位“1”是解答分数乘、除法应用题的关键。
①每一个分数都是它所在单位“1”中的一部分，一般来说“分什么”，这个“什么”就是单位“1”。如：“全班人数的是达标人数”
中我们分的是“全班人数”，这个“全班人数”就是单位“1”。
②两个量相比时，“比”字后面的量是衡量的标准，也就是单位“1”的量。如：“小花邮票比小珍少”中“比”字后面是“小珍邮票的个数”，所以“小珍邮票的个数”就是单位“1”的量。
③题目中没有明确告诉“分什么”，可找“先有的，作为比较基础的衡量标准的量”，它就是单位“1”的量。如：“实际节约了”中是先有原计划产量，实际产量是在原计划的基础上节约了，所以“原计划产量”就是单位“1”的量。再如：“水结冰体积增加了”中是先有水后有冰，冰是在水的基础上才形成的，所以“水的体积”就是单位“1”的量。
掌握判断单位“1”的方法，并形成技能技巧，为解答分数应用题做好准备。
（2）如果单位“1”的量已知，是分数乘法应用题；如果单位“1”的量未知，是所求问题，属于分数除法应用题。分数乘法应用题用“单位‘1’的量×分率=分数对应的数量”列式；分数除法应用题用“数量÷自己的分率=单位‘1’的量”列式。
根据单位“1”的量已知还是未知是判断分数乘除法应用题的唯一标准，这样分数乘除法应用题的结构特征就比较明显了。
①学校有20个足球，篮球比足球多，篮球有多少个？
②学校有20个足球，篮球比足球少，篮球有多少个？
③学校有20个足球，足球比篮球多，篮球有多少个？
④学校有20个足球，足球比篮球少，篮球有多少个？
分析：第①、②题中的单位“1”都是“足球的个数”，而“足球有20个”是已知的，所以这两道题都是分数乘法应用题。可用“足球的数量×篮球对应的分率=篮球的数量”列式。
故第①题的解法是：20×（1+）=25（个）。
第②题的解法是：20×（1–）=16（个）。
第③、④题中的单位“1”都是“蓝球的个数”，而“蓝球的个数”是未知的，所以这两道题都是分数除法应用题。用“足球的数量÷足球自己的分率=篮球的数量”列式。
故第③题的解法是：20÷（1+）=16（个）。
第④题的解法是：20÷（1–）=25（个）。
4、重视发散思维训练，优化解题方法
发散思维是解决问题时沿着各种方向、不同途径去探索和思考的思维方式。引导学生利用分数应用题中的关键句进行多角度、多层次的联想以及一题多解训练，便于培养学生思维的多向性和灵活性。
如：在新农村建设中，方才关村要修一条长3600米的水泥路，
甲施工队单独修需要10天，乙施工队单独修需要15天。如果甲乙两个施工队合修，需要几天完成？
这道题教师可引导学生从一般工作问题和工程问题的不同角度去思考，得到不同的解法：
①3600÷（3600÷1０＋3600÷15）＝6（天）
②１÷（＋）＝6（天）
再进行比较，得出最佳解法②。在此基础上，让学生将“3600米”换成900米、1200米、3000米等，用两种方法解答，使学生明白“3600米”这个条件对于解法②是多余的，从而使学生进一步理解工程问题应用题的特征。
总之，在分数乘除法应用题的教学中，教师要注重引导学生通过操作、画图、描述等方式帮助学生分析数量关系，通过纵向对比沟通简单分数应用题与稍复杂分数应用题的联系，通过横向对比使学生知道分数乘、除法应用题的根本区别，掌握分数应用题的结构特征和解题方法，从而总结规律，达到内化，形成认知结构，提高学生解答分数应用题的能力。
参考文献
［1］陈日铭 .解分数应用题常见错误原因分析及对策 .小学教学参考，2005年第35期
［2］蔡青．把握对应轻松突破——分数应用题的解题策略．湖北教育：教育教学，2011年第09期 51—52页
